Differentialgleichung: eindimensionale Fluchtbewegung im Gravitationsfeld

18.06.2014, 23:15	Supersymmetrie	Auf diesen Beitrag antworten »
Differentialgleichung: eindimensionale Fluchtbewegung im Gravitationsfeld Hallo Zusammen, Komme bei folgernder Aufgabe nicht weiter: Betrachte die DGL x'' = g(x) und G sei eine Stammfunktion der stetigen Funktion g. Sei x(t) eine Lösung der Differentialgleichung. (a) Zeigen Sie, dass x die Differentialgleichung $\begin{eqnarray} \frac{x'^2}{2} = G(x) + c \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} c = \frac{(x'(t0))^2}{2} - G(x(t0)) \end{eqnarray}$ erfüllt (b) Lösen Sie das AWP $\begin{eqnarray} x'' = - \frac{1}{2x^2} , x(0) = 1 , x'(0) = 1 \end{eqnarray}$ Als Hinweis zu (a) haben wir bekommen das dies aus der "Differentiation" folgt bei (b) soll man (a) benutzen Wie muss ich jetzt vorgehen bei (a) ist das einfach durch einsetzen und differenzieren von x zu zeigen? Bei (b) verwirrt mich das x' nicht in der Gleichung vorkommt, es aber einen Anfangswert dafür gibt.
19.06.2014, 00:35	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Es wäre nicht schlecht, wenn Du Dir erst einmal klar machst, was ihr in Teil a) gezeigt habt. Wenn Du das verstanden hast, sollte sich nicht die Frage stellen, wieso x(0) und x'(0) angegeben ist.
19.06.2014, 09:38	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
a) Die Gleichung $\begin{eqnarray} \ddot x(t)=g[x(t)] \end{eqnarray}$ besagt physikalisch, dass die 2.Ableitung des Weges x(t) nach der Zeit t laut Definition gerade die Beschleunigung g[x(t)] ist, wobei g[x(t)] wiederum vom Ort x abhängen kann. Multiplikation dieser Gleichung mit der Geschwindigkeit $\begin{eqnarray} \dot x \end{eqnarray}$ liefert $\begin{eqnarray} \ddot x \dot x=g[x(t)]\dot x(t) \end{eqnarray}$ . Intergiert man beide Seiten der letzteren Gleichung mittels Kettenregel nach der Zeit t, ergibt sich das Gewünschte. Zur Wiederholung: Die Kettenregel lautet bekanntlich $\begin{eqnarray} \tfrac{dG[x(t)]}{dt}=\tfrac{dG}{dx}\dot x \end{eqnarray}$ . Die Gleichung, die man am Ende erhält, ist übrigens der Energieerhaltungssatz $\begin{eqnarray} E_{\text{kin}}+E_{\text{pot}}=\text{konstant} \end{eqnarray}$ . b) Multipliziere die Gleichung $\begin{eqnarray} \ddot x=-\tfrac{1}{2x^2} \end{eqnarray}$ wiederum mit der Geschwindigkeit $\begin{eqnarray} \dot x \end{eqnarray}$ , was ergibt $\begin{eqnarray} \ddot x \dot x=-\tfrac{1}{2}\tfrac{\dot x}{x^2} \end{eqnarray}$ . Wie oben werden beide Seiten dieser Gleichung mittels Kettenregel nach der Zeit integriert, und man erhält wieder den Energieerhaltungssatz für ein spezielle Form des Gravitationsfeldes g(x). Aufgabe b) ist also eine spezielle Anwendung von a). Hinweis für das Integrieren: Laut Kettenregel gilt $\begin{eqnarray} \tfrac{d}{dt}\left ( \tfrac{1}{x(t)}\right )=-\tfrac{\dot x}{x^2} \end{eqnarray}$ .

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