DGL Lösung bestimmen mit Anfangswertproblem

19.06.2014, 02:05

Klingone

DGL Lösung bestimmen mit Anfangswertproblem

Hallo,
ich komme leider nicht auf die richtige Lösung und finde meinen Fehler nicht.
Es soll die Lösung einer DGL mit einem Anfangswertproblem gelöst werden.

$\begin{eqnarray*} y'-3y=e^{2x} AW y(1)=5e^{2} \end{eqnarray*}$

Die Rechnung ist als Kopie, da der Latexaufwand zu groß wäre.

Laut Lösung soll $\begin{eqnarray*} y(x)=\frac{6}{e} e^{3x}-e^{2x} \end{eqnarray*}$ rauskommen, worauf ich aber nicht komme...

19.06.2014, 09:29

Equester

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Morgen

.

Dein Fehler liegt beim Ansatz der partikulären Lösung. Du gehst von einem Resonanzfall aus, wo keiner vorliegt. Wir haben doch in der homogenen Lösung ein Lambda = 3. Der Störterm aber hat einen Exponenten von 2. Da liegt also kein Resonanzfall vor.

Hättest du den Resonanzfall allgemeiner gewählt, also auch lineare Glieder zugelassen, wäre das übrigens kein Problem gewesen^^ (es ist natürlich richtig, bei Annahme eines Resonanzfalles, dieses Glied wegzulassen).

Aber mal ganz davon abgesehen, hast du den Ansatz sogar falsch eingesetzt. Wo ist der Faktor -3 vor dem y? Also wo du eingesetzt hast?!

19.06.2014, 12:08

Klingone

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Zitat:

Original von Equester
Du gehst von einem Resonanzfall aus, wo keiner vorliegt. Wir haben doch in der homogenen Lösung ein Lambda = 3. Der Störterm aber hat einen Exponenten von 2. Da liegt also kein Resonanzfall vor.

Ich dachte immer die Lösung der homogenen mit der Störfunktion muss nur von der Art her gleich sein. So steht es zumindest im Skript.

Zitat:

Original von Equester
Aber mal ganz davon abgesehen, hast du den Ansatz sogar falsch eingesetzt. Wo ist der Faktor -3 vor dem y? Also wo du eingesetzt hast?!

Die -3 wurden da schon verrechnet. Eingesetzt sah das so aus :

$\begin{eqnarray*} Ae^{2x}+2Axe^{2x}-3(Axe^{2x})-e^{2x}=0 <br /> e^{2x}(A-1)+(2A-3A)xe^{2x}=0 \end{eqnarray*}$

Bin jetzt mit dem "Normalfall" Ansatz auf die Lösung gekommen, Danke!

Aber mich hat das echt irritiert, weil ich wirklich der Meinung war, das die Störfunktion nur von der Art her ähnlich mit der Homogenen Lösung sein muss.

19.06.2014, 12:16

Equester

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Was verstehst du von der "Art her gleich"?
Du vergleichst zumeist nur die Exponenten der e-Funktionen. Die sind offensichtlich anders.

Hier ist also der alleinige Ansatz $\begin{eqnarray*} y = Ae^{2x} \end{eqnarray*}$ völlig ausreichend.
Bist du dir unsicher, ob ein Resonanzfall vorliegt oder nicht, dann kannst du auch $\begin{eqnarray*} y = (Bx+A)e^{2x} \end{eqnarray*}$ verwenden Augenzwinkern

19.06.2014, 15:34

Klingone

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Das mit dem Ansatz hat mich schon desöfteren verwirrt.

Auch z.B bei dieser Aufgabe, ist es mir nicht klar, wieso wir im Resoannzfall bei der zweiten Störfunktion sind.
$\begin{eqnarray*} y''(x)-2y'(x)=e^{2t}+t²-1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} AW: y(0)=1/8 \end{eqnarray*}$

Die Störfunktion lässt sich in zwei Funktionen aufteilen, in $\begin{eqnarray*} e^{2t} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} t²-1 \end{eqnarray*}$ .

Die Lösung der homogenen ergibt : $\begin{eqnarray*} yh(t) = C1+C2*e^{2t} \end{eqnarray*}$

Die erste Störfunktion entspricht der Lösung der homogenen, also ist doch hier ein Resonanzfall vorhanden. ( So haben wir es auch in der Vorlesung gerechnet) .

Was mich nun aber verwirrt, wir haben bei der zweiten Störfunktion auch noch einen Resonanzfall genommen, obwohl die zweite Störfunktion der homogenen Lösung garnicht ähnelt ?

Der Ansatz hierfür war $\begin{eqnarray*} yp2(x)=(A0+A1*t+A2*t²)*t \end{eqnarray*}$

Das dürfte doch nicht sein oder ?

19.06.2014, 20:21

Equester

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Doch, das ist richtig. Auch hier liegt Resonanz vor.

Bedenke, dass Du für die $\begin{eqnarray*} c_1 \end{eqnarray*}$ angegeben hast. Das aber ist nichts andere als $\begin{eqnarray*} c_1\cdot e^0 \end{eqnarray*}$ .
Wenn wir das jetzt mit der Störfunktion vergleichen: $\begin{eqnarray*} t^2-1 = (t^2-1)e^0 \end{eqnarray*}$
Also ein Resonanzfall Augenzwinkern

20.06.2014, 14:02

Klingone

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Zitat:

Original von Equester
Doch, das ist richtig. Auch hier liegt Resonanz vor.

Bedenke, dass Du für die $\begin{eqnarray*} c_1 \end{eqnarray*}$ angegeben hast. Das aber ist nichts andere als $\begin{eqnarray*} c_1\cdot e^0 \end{eqnarray*}$ .
Wenn wir das jetzt mit der Störfunktion vergleichen: $\begin{eqnarray*} t^2-1 = (t^2-1)e^0 \end{eqnarray*}$
Also ein Resonanzfall Augenzwinkern

Das $\begin{eqnarray*} e^0 =1 \end{eqnarray*}$ ist, und sich somit = $\begin{eqnarray*} C_{1} \end{eqnarray*}$ ergibt kann ich noch nachvollziehen. Aber wieso entspricht das $\begin{eqnarray*} C_{1} = t²-1 ? \end{eqnarray*}$

Ist das etwa weil $\begin{eqnarray*} t=1 \end{eqnarray*}$ ist und somit mit $\begin{eqnarray*} C_{1} \end{eqnarray*}$ "verglichen" werden kann ?

Wobei aber C eine Konsante ist und im Prinzip doch jede Zahl sein könnte ?

20.06.2014, 14:34

Klingone

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Kann es leider nicht mehr editieren. Habe gerade gelesen das wenn 0 eine Nullstelle ist, das man vom Resonanzfall ausgehen kann ?

Stimmt diese Behauptung, wenn ja würde sich der Rest hier von selbst klären.

20.06.2014, 15:28

Equester

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Zitat:

Original von Klingone
Kann es leider nicht mehr editieren. Habe gerade gelesen das wenn 0 eine Nullstelle ist, das man vom Resonanzfall ausgehen kann ?

Wie meinst du das, dass man dann davon ausgehen kann?

Also nein: $\begin{eqnarray*} c_1\neq t^2-1 \end{eqnarray*}$ , aber du hast jeweils den gleichen Exponenten bei der e-Funktion. Und das ist ja was du letztlich vergleichst.

Ich kenne eure Notation nicht, aber üblich ist es den Exponenten der homogenen Lösung mit $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ zu bezeichnen und den der Störfunktion mit $\begin{eqnarray*} \mu \end{eqnarray*}$ . Wenn sich die beiden gleichen liegt Resonanz vor. Hier haben wir unter anderem $\begin{eqnarray*} \lambda = \mu = 0 \end{eqnarray*}$ Augenzwinkern

20.06.2014, 21:24

Klingone

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Zitat:

Original von Equester

Wie meinst du das, dass man dann davon ausgehen kann?

Ich meinte wenn die 0 eine Nullstelle des charakteristischen Polynoms ist, liegt ein Resonanzfall vor. Zumindest war das bis jetzt bei allen DGLs die wir gerechnet haben so. Bin mir aber nicht sicher ob man das generell so sagen kann.

Zitat:

Original von Equester
Also nein: $\begin{eqnarray*} c_1\neq t^2-1 \end{eqnarray*}$ , aber du hast jeweils den gleichen Exponenten bei der e-Funktion. Und das ist ja was du letztlich vergleichst.

Die Erklärung finde ich gut. Ich habe mir seither immer auch den Koeffizienten mit angeschaut, was in dem Fall das (t²-1) war.

21.06.2014, 00:36

Equester

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Nope, das war dann bisher nur Zufall. Es gilt nicht generell, dass ein Resonanzfall vorliegt, wenn das charakteristische Polynom eine Nullstelle 0 hat.

Merks dir über die Schreibweise mit dem Exponenten der e-Funktion smile

. Danke^^.

22.06.2014, 11:30

Klingone

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Wobei es hier auch Ausnahmen zu geben scheint Big Laugh

.
Z.B wenn die Störfunktion $\begin{eqnarray*} x² \end{eqnarray*}$ ist und meine homogene Lösung eine doppelte Nullstelle aufweist.

z.B wenn die doppelte Nullstelle -1 vorliegt.

Dann hätten wir als homogene Lösung:

$\begin{eqnarray*} C_{1}*e^{-x}+C_{2}*x*e^{-x} \end{eqnarray*}$

Hier stimmen die Exponenten nicht überein, aber trotzdem liegt laut Skript ein Resonanzfall vor.
Denn hier sei der Ansatz :

$\begin{eqnarray*} (A_{0}+A_{1}x+A_{2}x²)*x \end{eqnarray*}$

Das könnte ich mir aber insofern erklären, das die Lösung der homogenen eine Doppelte Nullstelle ist, und die Störfunktion $\begin{eqnarray*} x² \end{eqnarray*}$ eine quadratische Funktion mit ebenfalls einer doppelten Nullstelle ist.

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