Bestimme Basis Polynome

Neue Frage »

Captain Bais Auf diesen Beitrag antworten »
Bestimme Basis Polynome
Halloa, ich habe eine Aufgabe mit der ich nicht so wirklich etwas anfangen kann.

Es sei der Vektorraum der reellen Polynome vom Grad . Weiterhin sei:




Bestimmen Sie Basen von ...


Ich bin mir jetzt garnicht sicher wie ich das anstellen soll. Wenn Vektoren gegeben sind kann man die Bedingung als Linearkombination darstellen und diese dann "auseinanderziehen" um damit die Basis zu erhalten. Wie das bei Polynomen funktioniert weiß ich nicht so wirklich. Ich dachte mir dazu:

Sei .



Da in der Aufgabe steht man soll eine Basis angeben würde ich jetzt ganz naiv davon ausgehen das ich auch die kanonische Basis nehmen kann. Also als eine Basis von . Ich weiß allerdings nicht was dann mir noch sagen soll.

Kann mir das mal jemand erklären wie man bei einer sollchen Aufgabe vorgehen muss? smile
bijektion Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Also als eine Basis von

Angenommen das wäre so. Dann ist , das kann aber nicht sein smile
Es ist eine Basis von , jetzt musst du bei einbringen, das für jedes Polynom immer gewährleistet ist.

Wann ist das der Fall? Betrachte etwa die Abbildungen etc. smile

Zitat:

Wieso sollte das gelten? verwirrt
Captain Bais Auf diesen Beitrag antworten »

Hi bijektion,

Zitat:


Wieso sollte das gelten? verwirrt

Ich dachte ich kann einfach umschreiben indem ich berechne und das in schreibe... das geht wohl nicht.

Zitat:
"Wann ist das der Fall? Betrachte etwa die Abbildungen etc. smile "

Wie kommst du darauf? Gibt es da kein allgemeines Vorgehen wie ich eine Basis dazu bestimme?
bijektion Auf diesen Beitrag antworten »

Was ist denn ?

Zitat:
Wie kommst du darauf? Gibt es da kein allgemeines Vorgehen wie ich eine Basis dazu bestimme?

Du musst dir erstmal klar machen, was für Objekte so in dem UVR liegen smile Das versuche ich dir gerade zu zeigen smile
Captain Bais Auf diesen Beitrag antworten »

ist dann

Dann dachte ich mir . Sind das denn nicht genau die Objekte die in liegen?
bijektion Auf diesen Beitrag antworten »

Achso Augenzwinkern Jetzt verstehe ich auch was du meinst smile Ja, dann musst du aus noch eine Basis bestimmen smile
 
 
Captain Bais Auf diesen Beitrag antworten »

Und genau hier hackt es ja! Big Laugh

Bei Vektoren weiß ich wie man das macht indem man die Bedinung (in dem Fall a+b+c+d=0) noch einmal aufschreibt und es es als Linearkombination darstellt geht das hier analog oder wie soll ich das anstellen? smile
Captain Bais Auf diesen Beitrag antworten »

Kann mir noch jemand helfen?
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

Die Basisvektoren von müssen offenbar alle die Bedingung erfüllen. Da die Dimension des Raums der Polynome vom Grad vier ist und es eine Nebenbedingung für den Unterraum gibt (ist es ein Unterraum? Augenzwinkern ), muss 3-dimensional sein. Nimm also am besten die Polynome


und zeige, dass diese linear unabhängig sind, damit also eine Basis von bilden.
Captain Bais Auf diesen Beitrag antworten »

Hi RavenOnJ,

ich habe gleich mehrere Fragen.

1) Das die Dimension von ist ist erstmal noch logisch. Nun verstehe ich aber nicht wenn ein UVR von ist, dann ist klar das ist. Wieso aber ist dann die wie du sagst und nicht zum Beispiel oder ? das wäre doch auch möglich? ...

2) Du nimmst wohl bei die kanonischen Basisvektoren.

Müsste das aber nicht sein da? Du hast doch dann lediglich die Bedingung eingesetzt also:

oder? irgendwie steige ich noch nicht so ganz hinter deine Argumentation wieso du die Basisvektoren bis genommen hast obwohl das doch die Basisvektoren von sein müssten?
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

können nicht die Basisvektoren von sein, da für jeden Basisvektor die Nebenbedingung aus gelten muss. Für alle drei ist das offensichtlich nicht der Fall. Außerdem enthält Polynome 3. Grades, die von einer Basis aus Polynomen bis Grad 2 nicht erfasst werden.
Captain Bais Auf diesen Beitrag antworten »

"Außerdem enthält Polynome 3. Grades, die von einer Basis aus Polynomen bis Grad 2 nicht erfasst werden."

Also laut Aufgabe hat doch der Vektorraum Polynome vom Grad und nicht ? verwirrt
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

besteht aus allen Polynomen aus , die bei 1 eine Nullstelle haben. darunter sind auch Polynome 3. Grades, beispielsweise .
Captain Bais Auf diesen Beitrag antworten »

Oh man ... ich sollte auch richtig lesen.

Die kanonische Basis ist ja dann und da die Bedingung mit eingesetzt.

Das ist doch dann

Diese Vektoren müssen jetzt linear unabhängig sein damit sie eine Basis bilden.

D.h. ich muss prüfen:

und nun alles umordnen und einen Koeffizientenvergleich?
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

1 darf nicht enthalten sein, da konstante Polynome ungleich 0 bei 1 keine Nullstelle haben.
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Captain Bais
und nun alles umordnen und einen Koeffizientenvergleich?


korrekt
Captain Bais Auf diesen Beitrag antworten »

Jetzt ist alles klar, vielen Dank! smile
Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen

Die Beliebtesten »
Die Größten »
Die Neuesten »