4-dimensionale Hamiltonsche Quaternionen

19.06.2014, 13:25	planlos93	Auf diesen Beitrag antworten »
4-dimensionale Hamiltonsche Quaternionen Meine Frage: Folgende Aufgabe haben wir in höhere Algebra I bekommen: Betrachten Sie die 4-dimensionale $\begin{eqnarray} \mathbb R \end{eqnarray}$ - Algebra der Hamiltonschen Quaternionen $\begin{eqnarray} \mathbb H \end{eqnarray}$ , das heißt den $\begin{eqnarray} \mathbb R \end{eqnarray}$ -Vektorraum $\begin{eqnarray} \mathbb H = \left\{ a+ib+jc+kd \| a, b, c, d \in \mathbb R \right\} \end{eqnarray}$ mit den Multiplikationsregeln $\begin{eqnarray} i²=j²=-1, ij=k=-ji \end{eqnarray}$ a) Zeigen Sie, dass $\begin{eqnarray} \mathbb H \end{eqnarray}$ eine zentrale einfache $\begin{eqnarray} \mathbb R \end{eqnarray}$ -Algebra ist. b) Geben Sie einen Zerfällungkörper für $\begin{eqnarray} \mathbb H \end{eqnarray}$ an. Meine Ideen: Als Definition für zentrale einfache Algebren hatten wir in der Vorlesung folgendes: Sei K ein Körper. Eine K-Algebra A heißt zentral, wenn $\begin{eqnarray} C\left(A\right) = K\cdot 1_{A} \end{eqnarray}$ . Ist A eine endlich dimensionale K-Algebra, dann ist nach Wedderburn A isomorph zu $\begin{eqnarray} M_{n}\left(D\right) \end{eqnarray}$ für einen Schiefkörper D, der endliche Dimension über K hat und C(A) isomorph zu C(D) =:E, mit $\begin{eqnarray} K\subseteq E \end{eqnarray}$ . Dann ist E ein kommutativer Körper und wie können A als E-Algebra auffassen. Als solche ist A dann eine zentral einfache endlich dimensionale E-Algebra. Das die Dimesion endlich ist, geht ja aus der Aufgabenstellung hervor mit $\begin{eqnarray} dim\left(\mathbb H\right) = 4 \end{eqnarray}$ . Leider, weiß ich nicht, welche Buchstaben der Definition jetzt wie auf die Aufgabe übertragen werden können. Einerseits würde ich sagen gilt: $\begin{eqnarray} A= \mathbb H \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} K=\mathbb R \end{eqnarray}$ , aber andererseits sind die Hamiltonschen Quaternionen auch Schiefkörper, und es wird nach dem Beweis für die zentrale einfache $\begin{eqnarray} \mathbb R \end{eqnarray}$ -Algebra gefragt. Daher könnte man auch annehmen, dass $\begin{eqnarray} D=\mathbb H \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} E=\mathbb R \end{eqnarray}$ gilt. Kann mir vielleicht jemand dabei weiterhelfen? Reicht es denn dann auch, die Definition einfach mit den passenden Buchstaben aufzuschreiben, oder muss ich noch mehr zeigen? zu b) Kann man als Zerfällungskörper für $\begin{eqnarray} \mathbb H \end{eqnarray}$ einfach $\begin{eqnarray} \mathbb C \end{eqnarray}$ verwenden, da dies auch ein Zerfällungskörper für $\begin{eqnarray} \mathbb R \end{eqnarray}$ ist? Vielen Dank im Voraus!

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