Offene Mengen als Bedingung für Sätze

19.06.2014, 13:37	Matheneuling1991	Auf diesen Beitrag antworten »
Offene Mengen als Bedingung für Sätze Wieso wird in der Analysis so oft von offenen Menschen als Grundbedingung für die Anwendung von Sätzen ausgegangen? Es gibt sicherlich 1000 Beispiele, aber ich bin gerade beim Satz von Schwarz, drum nehme ich den mal als Beispiel: Sei U aus R^m offen und eine Funktion f:U->R^m 2 mal stetig diffbar. Dann ist D_i D_j f(x)=D_j D_i f(x), d.h. es spielt keine Rolle, ob man zuerst nach i dann nach j oder andersrum ableitet. Aber wieso wird jetzt eine offene Menge gefordert? Insbesondere ist R^m eine Teilmenge von R^m, d.h. für U=R^m gilt der Satz und dadurch dürfte es doch eigentlich auch für jede abgeschlossene TM des R^m gelten, also z.B. für das Intervall [-10,10] oder nicht?
19.06.2014, 14:03	Matheneuling1991	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Verständnisfrage - Offene Mengen als Bedingung für Sätze Das Intervall ist natürlich Käse, weil wir im R^m sind, und nicht in R, sagen wir also z.B. U={x aus R^m: x_i aus [-10,10] für alle i von 1 bis m}
22.06.2014, 14:57	Matheneuling1991	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich erlaube mir mal nach 3 Tagen das Thema wieder etwas nach oben zu pushen, in der Hoffnung, dass mir jemand helfen kann
23.06.2014, 00:09	supernova1604	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie ich das ganze verstehe...Damit eine Funktion f in einem Punkt, sagen wir x, differenzierbar ist, muss x ein innerer Punkt sein. Somit kannst man sich von allen Seiten an x annähern. Offene Mengen erfüllen für alle Punkte diese Eigenschaft (eine offene Menge hat nur innere Punkte). Somit stellst du sicher, dass die Ableitungen eindeutig sind, denn du alle Grenzwerte bilden kannst. Du kannst auch eine beliebige Menge nehmen, dann musst du aber trotzdem für alle Punkte offene Umgebungen haben, die in den Definitionsbereich liegen. Dann kommen die Randpunkte auch noch dazu, die aus mehrere Richtungen zugänglich sind. Das wären meine Überlegungen dazu. Ich weiss nicht, ob dir das weiterhilft. Vielleicht kann jemand noch mehr dazu sagen
23.06.2014, 12:24	Matheneuling1991	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank Du hast mir damit schon sehr viel weiter geholfen Darf ich da noch eine kurze Rückfrage diesbezüglich stellen? Nehmen wir mal eine ganz einfache Funktion aus der Schulmathematik, die auf jeden Fall differenzierbar ist: f(x)=x^2 Und ich schau mir dazu irgendein abgeschlossenes Intervall an, z.B. [-1,1] Müsste ich dann theoretisch nachprüfen ob die Funktion auf -1 und 1 ebenfalls differenzierbar ist? Oder was mache ich in solch einer Situation? (kann dann natürlich gerne auf mehrere Variablen ausgeweitet werden)
23.06.2014, 13:20	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Die offenen Mengen bieten den Vorteil, daß zum Beispiel Differenzierbarkeit von $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ in $\begin{eqnarray} x_0 \end{eqnarray}$ erhalten bleibt, wenn man $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ in irgendeiner Weise über den bisherigen Definitionsbereich hinaus fortsetzt. Schon im Eindimensionalen bekommt man Probleme, wenn der Definitionsbereich nicht offen ist. Beispiel: $\begin{eqnarray} f: [-1,1] \to \mathbb{R} \, , \ \ x \mapsto x^2 \end{eqnarray}$ Der Differenzenquotient $\begin{eqnarray} \frac{f(1+h) - f(1)}{h} \end{eqnarray}$ strebt für alle $\begin{eqnarray} h \neq 0 \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} 1+h \in [-1,1] \end{eqnarray}$ gegen $\begin{eqnarray} 2 \end{eqnarray}$ , wenn $\begin{eqnarray} h \to 0 \end{eqnarray}$ strebt. In diesem Sinn ist also $\begin{eqnarray} f'(1) = 2 \end{eqnarray}$ . Jetzt setzen wir $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ fort zu $\begin{eqnarray} \hat{f}: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \, , \ \ x \mapsto \begin{cases} x^2, & \text{falls} \ \|x\| \leq 1 \\ (x+2)^2, & \text{falls} \ x<-1 \\ (x-2)^2, & \text{falls} \ x>1 \end{cases} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \hat{f} \end{eqnarray}$ ist in $\begin{eqnarray} x_0=1 \end{eqnarray}$ nicht differenzierbar, obwohl die Restriktion von $\begin{eqnarray} \hat{f} \end{eqnarray}$ auf $\begin{eqnarray} [-1,1] \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ übereinstimmt, welches in $\begin{eqnarray} x_0=1 \end{eqnarray}$ differenzierbar war. Offenbar kann dieses Phänomen bei inneren Punkten von $\begin{eqnarray} [-1,1] \end{eqnarray}$ nicht auftreten. Trotz dieser Problematik läßt man bei der Differenzierbarkeit im Eindimensionalen auch nicht offene Definitionsbereiche zu. Im Mehrdimensionalen wird die Sache aber zu unübersichtlich. Dort beschränkt man sich auf offene Definitionsmengen, damit man sich, wie supernova1604 schon ausgeführt hat, von allen Seiten an einen Punkt annähern kann.
Anzeige

23.06.2014, 15:42	Matheneuling1991	Auf diesen Beitrag antworten »
Top!! Danke..

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »