Jacobi-Matrix, Divergenz, Rotation

Neue Frage »

19.06.2014, 14:32	MannyC	Auf diesen Beitrag antworten »
Jacobi-Matrix, Divergenz, Rotation Hallo, ich habe hier eine Aufgabe die mir etwas schwierigkeiten bereitet. Wie ich im Allgemeinen die Jacobi-Matrix, die Divergenz und Rotation eines Vektorfeldes berechne ist mir klar. Das nun alles jedoch auf folgende Abbildung anzuwenden fällt mir etwas schwer. Gegeben sei folgende Aufgabe: Sei $\begin{eqnarray} f:\mathbb R ^2 \backslash \left\{\vec{0} \right\} \rightarrow\mathbb R ^2, \vec{f}(\vec{x} )=\|\vec{x} \|^{-2} \vec{x} \end{eqnarray}$ . Nun ist hiervon die Jacobi-Matrix, Divergenz und Rotation gesucht. Leider habe ich keine Ahnung wie ich das machen soll wenn kein richtiges Vektorfeld gegeben ist und stattdessen nur $\begin{eqnarray} \vec{x} \end{eqnarray}$ steht.
19.06.2014, 15:22	MannyC	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich habe da eine Idee bekommen, weiss aber dennoch nicht ob man das so machen darf. Ich würde jetzt den Vektor x=(x1,x2) umschreiben, da wir uns ja im IR^2 befinden. Nun würde ich einfach die gegebene Funktionsgleichung gleichsetzen mit 1/(wurzel(x1^2 + x2^2)^-2) * (x1,x2). Geht das so ? Davon würde ich dann die Jacobi-Matrix, Divergenz und Rotation berechnen.
19.06.2014, 15:36	Matheneuling1991	Auf diesen Beitrag antworten »
Soweit ich das sehe, ist das genau die richtige Umformung.. (Und du hast einen kleinen Tippfehler: Es muss natürlich nicht ^(-2) sondern ^2 sein.. )
20.06.2014, 08:44	MannyC	Auf diesen Beitrag antworten »
Genau, da hatte ich wohl das negative Vorzeichen ausversehen drangehängt. Nun meine Frage: Wie wende ich denn die Rotation hier an. Ich farge da wir uns im zweidimensionalen befinden und die Rotation nu im dreidimensionalen definiert ist.
20.06.2014, 13:39	MannyC	Auf diesen Beitrag antworten »
So, ich habe das nun mal ausprobiert und da es meine erste Berechnung zu den Begriffen ist poste ich lieber mal die Lösungen. Außerdem verunsichern mich die beiden Nullvektoren als Ergebnisse. Die Jacobi-Matrix lautet: $\begin{eqnarray} J_{\vec{f} } =\begin{pmatrix} \frac{x_{1}^2+ x_{2}^2-2x_{1}^2}{x_{1}^4+2x_{1}^2x_{2}^2+x_{2}^4} & \frac{-2x_{1} x_{2} }{x_{1}^4+2x_{1}^2x_{2}^2+x_{2}^4} \\ \frac{-2x_{1} x_{2} }{x_{1}^4+2x_{1}^2x_{2}^2+x_{2}^4} & \frac{x_{1}^2+ x_{2}^2-2x_{2}^2}{x_{1}^4+2x_{1}^2x_{2}^2+x_{2}^4} \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Die Divergenz ist $\begin{eqnarray} div \vec{f}= \nabla \vec{f}=0 \end{eqnarray}$ Und die Rotation beträgt $\begin{eqnarray} rot \vec{f} =\begin{pmatrix} 0 \\ 0\\ 0\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ Habe ich das so richtig gemacht?
20.06.2014, 18:37	DeltaX	Auf diesen Beitrag antworten »
Kleiner Tipp: Vereinfache doch mal die Jacobi-Matrix.
Anzeige

20.06.2014, 18:48	MannyC	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo und danke für die Aufmerksamkeit. Was meinst du mit vereinfachen? Ich sehe nichts was ich vereinfachen kann. Du meinst doch sicher nicht das ich Variablen ausklammern soll?
20.06.2014, 18:59	DeltaX	Auf diesen Beitrag antworten »
Im Zähler der ersten Komponente der Jacobimatrix steht schonmal eine Summe, die sich vereinfachen lässt. Und naja das Auflösen der Binomischen Formel im Nenner ist zwar ganz gut, wenn man erkennt, dass es eine ist, aber schöner und kürzer ist es eben in der unausmultiplizierten Form. Das mit der bin. im Nenner gilt für alle Komponenten der JacobiMatrix, und den Zähler kannst du wie gesagt in der 1. Zeile, 1. Spalte und in der 2. Zeile, 2. Spalte noch vereinfachen.
20.06.2014, 19:56	MannyC	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke das du mich auf das kürzen und die Termvereinfachung aufmerksam gemacht hast! So hab es jetzt geändert und in der Tat ist es so besser, da die Terme nicht so ,,gräslich" aussehen. Weisst du vielleicht auch ob ich die richtige Divergenz und Rotation vom Vektorfeld berechnet habe?
22.06.2014, 18:21	MannyC	Auf diesen Beitrag antworten »
Niemand eine Idee ob folgendes richtig ist? Würde ja Wolfram Alpha nutzen, finde aber keine Möglichkeit das dort umzusetzen. Jacobi Matrix ist (Laut DeltaX korrekt, muss jedoch noch gekürzt werden): $\begin{eqnarray} J_{\vec{f} } =\begin{pmatrix} \frac{x_{1}^2+ x_{2}^2-2x_{1}^2}{x_{1}^4+2x_{1}^2x_{2}^2+x_{2}^4} & \frac{-2x_{1} x_{2} }{x_{1}^4+2x_{1}^2x_{2}^2+x_{2}^4} \\ \frac{-2x_{1} x_{2} }{x_{1}^4+2x_{1}^2x_{2}^2+x_{2}^4} & \frac{x_{1}^2+ x_{2}^2-2x_{2}^2}{x_{1}^4+2x_{1}^2x_{2}^2+x_{2}^4} \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Die Divergenz ist $\begin{eqnarray} div \vec{f}= \nabla \vec{f}=0 \end{eqnarray}$ Und die Rotation beträgt $\begin{eqnarray} rot \vec{f} =\begin{pmatrix} 0 \\ 0\\ 0\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ Die Nullvektoren verunsichern mich ja etwas als Ergebnisse.

Neue Frage »

Antworten »

Jacobi-Matrix, Divergenz, Rotation

Verwandte Themen