kleine limes frage

19.06.2014, 19:47

onlyC

kleine limes frage

Meine Frage:
Hallo, ich brauche wieder einmal eure Hilfe!
Ich soll zeigen dass $\begin{eqnarray*} f_{n+1}'(x)=f_n(x)=\frac{x^n}{n!}sgn(x) \end{eqnarray*}$ gilt.

Meine Ideen:
Für x ungleich 0 habe ich den Übungsleitenden zufriedenstellen können. Also fehlt noch x=0. Er will es mit dem Limes des Differenzenquotienten haben.

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} \frac{\frac{x^{n+1}}{(n+1)!}sgn(x)-\frac{0^{n+1}}{(n+1)!}sgn(0)}{x-0}=\lim_{x \to 0} \frac{\frac{x^{n+1}}{(n+1)!}sgn(x)}{x}=\lim_{x \to 0} \frac{x^{n}}{(n+1)!}sgn(x) \end{eqnarray*}$

Kann ich jetzt so fortfahren:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} \frac{x^{n}}{(n+1)!}sgn(x)= \frac{1}{(n+1)!} \left[ \left(\lim_{x \to 0} x^{n}\right)\left(\lim_{x \to 0} sgn(x)\right)\right] \end{eqnarray*}$
Jetzt beweise ich dass, $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} x^{n}=0 \end{eqnarray*}$ und da $\begin{eqnarray*} \frac{1}{(n+1)!}\neq 0 \end{eqnarray*}$ ist, ist $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} \frac{x^{n}}{(n+1)!}sgn(x)=0 \end{eqnarray*}$

Sei $\begin{eqnarray*} \epsilon>0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \delta>0 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} |x^n-0|<\epsilon \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} |x-0|<\delta \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} |x|<\epsilon^{1/n} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} |x|<\delta \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \epsilon=\delta^n \end{eqnarray*}$
Somit ist $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} x^{n}=0 \end{eqnarray*}$ .

$\begin{eqnarray*} f_{n+1}'(0)=\lim_{x \to 0} \frac{0^{n}}{(n+1)!}sgn(0)=0=\frac{0^n}{n!}sgn(0)=f_n(0) \end{eqnarray*}$

Ist das alles richtig so?

19.06.2014, 20:38

10001000Nick1

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RE: kleine limes frage

Zitat:

Original von onlyC
Kann ich jetzt so fortfahren:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} \frac{x^{n}}{(n+1)!}sgn(x)= \frac{1}{(n+1)!} \left[ \left(\lim_{x \to 0} x^{n}\right)\left(\lim_{x \to 0} sgn(x)\right)\right] \end{eqnarray*}$

Nein. $\begin{eqnarray*} \lim_{x\to 0}\operatorname{sgn}(x) \end{eqnarray*}$ existiert nämlich gar nicht.

Du kannst $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} \frac{x^{n}}{(n+1)!}\operatorname{sgn}(x) \end{eqnarray*}$ mithilfe des Sandwich-Lemmas berechnen ( $\begin{eqnarray*} \operatorname{sgn} \end{eqnarray*}$ ist beschränkt!).

19.06.2014, 21:04

onlyC

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RE: kleine limes frage
aber 0 mal etwas das 0 oder nicht definiert ist, ist doch immer noch null oder? -Ich probier mal das Sandwich

EDIT: Sandwich:

$\begin{eqnarray*} -\frac{x^{n}}{(n+1)!}\leq \frac{x^{n}}{(n+1)!}sgn(x) \leq \frac{x^{n}}{(n+1)!} \end{eqnarray*}$

Und weil $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} x^{n}=0 \end{eqnarray*}$ ist auch $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} \frac{x^{n}}{(n+1)!}sgn(x)=0 \end{eqnarray*}$ . Stimmt es jetzt?

19.06.2014, 21:47

10001000Nick1

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RE: kleine limes frage

Zitat:

Original von onlyC
aber 0 mal etwas das 0 oder nicht definiert ist, ist doch immer noch null oder?

Nein. Gegenbeispiel: Zwei Folgen $\begin{eqnarray*} (a_n)_{n\in\mathbb{N}}, (b_n)_{n\in\mathbb{N}} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} a_n:=\frac{1}{n}, b_n=(-1)^nn \end{eqnarray*}$ .

Da ist $\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty}a_n=0, \lim_{n\to\infty}b_n \end{eqnarray*}$ existiert nicht.
Jetzt ist aber nicht $\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty} (a_nb_n)=0 \end{eqnarray*}$ , sondern der Grenzwert existiert nicht.

Zitat:

Original von onlyC
Stimmt es jetzt?

Ja.

19.06.2014, 21:49

onlyC

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RE: kleine limes frage
Und wieder einmal ein dickes Dankeschön! {okay}

19.06.2014, 21:57

10001000Nick1

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RE: kleine limes frage
Doch noch eine kleine Korrektur:

Zitat:

Original von onlyC
EDIT: Sandwich:

$\begin{eqnarray*} -\frac{x^{n}}{(n+1)!}\leq \frac{x^{n}}{(n+1)!}sgn(x) \leq \frac{\textcolor{red}{|} x\textcolor{red}{|}^{n}}{(n+1)!} \end{eqnarray*}$

19.06.2014, 22:26

onlyC

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RE: kleine limes frage
Hammer

Klar, danke.

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