Majorantenkriterium

19.06.2014, 20:17

Sasd123

Majorantenkriterium

Hallo, ich muss das Majorantenkriterium bei diesen 3 Gleichungen anwenden.
Nur ist dieses größer oder kleiner abschätzen, meiner Meinung echt schwierig :S
Vielleicht kann mir da jemand grundsätzlich Tipps geben und mir bei diesen Aufgaben helfen:

(a) $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1+(-1)^{n}n }{n^{3} } \end{eqnarray*}$

Das konvergiert etwa zu 0,3796.
Habe mir dazu gedacht, dass ich eventuell diese Reihe benutzen könnte:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=2}^\infty \frac{1 }{n-1} -\frac{1}{n} \end{eqnarray*}$
Kovergiert gegen 1.

(b) $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{n³-2n-3}{n^{4} } \end{eqnarray*}$
Diese Reihe divergiert wahrscheinlich.
Ich weiß, dass ich hier eine kleinere Reihe suchen muss. Mir fällt nur leider keine ein verwirrt

(c) $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n²}n+n³\sqrt{n} }{n^{6} } \end{eqnarray*}$
Diese Reihe konvergiert gegen 0,369

Da hätte ich mir eventuell gedacht:
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n²}n+n³\sqrt{n} }{n^{6} } <\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{n+n³\sqrt{n} }{n^{6} } <\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{n³\sqrt{n} }{n^{6} }< \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{n^4 }{n^{6} }= \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{k²} \end{eqnarray*}$

Was dann gegen 1,6 konvergiert.

20.06.2014, 09:17

Gurki

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RE: Majorantenkriterium
Die Angabe der ungefähren Reihenwerte ist hier unnötig und auch nicht zielführend.

Konzentriere dich lieber auf die benötigten Abschätzungen.

Deine Vermutungen hinsichtlich des Grenzverhaltens der einzelnen Reihen sind jedenfalls richtig.
Du darfst beim Abschätzen aber ruhig etwas beherzter zur Sache gehen.

Bei (a) kannst du den Zähler gegen $\begin{eqnarray*} 2n \end{eqnarray*}$ nach oben abschätzen.

Bei (b) kannst du den Zähler (für hinreichend große $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ ) gegen $\begin{eqnarray*} \frac{n^3}2 \end{eqnarray*}$ nach unten abschätzen.

Bei (c) kommst du zwar (vom Laufindex abgesehen) zu eine geeigneten Majorante - allerdings solltest du die Abschätzungen etwas sorgfältiger durchführen!

Diese Ungleichung

$\begin{eqnarray*} \frac{n+n^3\sqrt{n}}{n^6}<\frac{n^3\sqrt{n}}{n^6} \end{eqnarray*}$

ist nämlich falsch!

20.06.2014, 09:30

klarsoweit

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RE: Majorantenkriterium

Zitat:

Original von Sasd123
Hallo, ich muss das Majorantenkriterium bei diesen 3 Gleichungen anwenden.

Nun ja, das sind eher Reihen und keine Gleichungen.

Zitat:

Original von Sasd123
(a) $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1+(-1)^{n}n }{n^{3} } \end{eqnarray*}$

Hier würde ich die Reihen $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{n^3} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n}n }{n^3} \end{eqnarray*}$ betrachten. Und dann ist die große Frage, welche konvergente Reihen du kennst, die dann zu diesen Reihen eine Majorante sein könnten.

Zitat:

Original von Sasd123
(b) $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{n³-2n-3}{n^{4} } \end{eqnarray*}$

Hier würde ich die Reihe mit der Ungleichung $\begin{eqnarray*} 2n+3 < \frac{n^3}{2} \end{eqnarray*}$ nach unten abschätzen. Die Ungleichung gilt für genügend große n und sollte in einer Nebenrechnung bewiesen werden.

Zitat:

Original von Sasd123
(c) $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n²}n+n³\sqrt{n} }{n^{6} } \end{eqnarray*}$

Auch hier würde ich erstmal die Reihen auseinanderziehen und auf konvergente Reihen zurückführen.

EDIT: zu spät, Gurki war schneller. traurig

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