Eigenschaft adjungierter Operatoren

19.06.2014, 22:43

Hammala

Eigenschaft adjungierter Operatoren

Meine Frage:
Hallo,

ich müsste ganz dringend folgendes wissen und zwar ist L(H) Menge von Operatoren mit H Hilbertraum (ich weiß nicht ob die Menge auch beschränkt ist). Ich soll zeigen, dass auch eine Involution gegeben ist, ich denk mal es ist die Adjungiertenbildung, und dass $\begin{eqnarray*} ||T^* T|| = ||T||^2 \end{eqnarray*}$ gilt.

Meine Ideen:
wäre echt super dankbar

19.06.2014, 23:12

Che Netzer

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RE: Eigenschaft adjungierter Operatoren

Zitat:

Original von Hammala
ich müsste ganz dringend folgendes wissen

Du hast allerdings keine Frage gestellt verwirrt

Zitat:

und zwar ist L(H) Menge von Operatoren mit H Hilbertraum (ich weiß nicht ob die Menge auch beschränkt ist).

Üblicherweise bezeichnet $\begin{eqnarray*} L(H) \end{eqnarray*}$ den (normierten) Raum aller stetigen linearen Operatoren auf $\begin{eqnarray*} H \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Ich soll zeigen, dass auch eine Involution gegeben ist, ich denk mal es ist die Adjungiertenbildung

Ja, das ist die natürliche Involution auf $\begin{eqnarray*} L(H) \end{eqnarray*}$ .

19.06.2014, 23:40

Hammala

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ok super, und die letzte Gleichung, wie zeigt man die?

20.06.2014, 00:04

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$\begin{eqnarray*} ||T^* T|| \leq ||T||^2 \end{eqnarray*}$ ist klar.
Für die andere Abschätzung beginne mit $\begin{eqnarray*} \|Tx\|^2=<Tx,Tx> \end{eqnarray*}$ .
Jetzt Eigenschaften von $\begin{eqnarray*} T^* \end{eqnarray*}$ und Cauchy-Schwarz

20.06.2014, 00:15

Hammala

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ich komm auf:
$\begin{eqnarray*} ||Tx||^2 = <x, T^* Tx> \leq ... \leq ||x||^2 ||T||^2 \end{eqnarray*}$

20.06.2014, 00:16

Hammala

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was heißt das jetzt?

20.06.2014, 00:37

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kommt darauf an, was sich hinter den Punkten versteckt

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