(Positiv)Definitheit einer Matrix |
20.06.2014, 00:09 | Matheneuling1991 | Auf diesen Beitrag antworten » |
(Positiv)Definitheit einer Matrix Mir sind bekannt: 1. EW alle >0 2. ist die Matrix symetrisch, dann Hauptminorenkriterium Was gibt es sonst noch so? Kann man dazu vll ein kleines Beispiel geben? z.B. an einer 2x2 Matrix? Danke! |
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20.06.2014, 00:47 | 10001000Nick1 | Auf diesen Beitrag antworten » |
Mir fällt noch folgendes ein: Eine symmetrische Matrix ist genau dann positiv definit, wenn es eine Cholesky-Zerlegung dieser Marix gibt. Eine symmetrische streng diagonaldominante Matrix mit positiven Diagonalelementen ist positiv definit. Eine symmetrische positiv definite Matrix besitzt nur positive Diagonalelemente. |
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20.06.2014, 00:51 | Matheneuling1991 | Auf diesen Beitrag antworten » |
Ich soll in einem ÜB bei einer symetrischen Matrix B die postive Definitheit prüfen, indem ich das Verfahren von Gram Schmidt anwende: Wie geht das? |
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20.06.2014, 00:55 | 10001000Nick1 | Auf diesen Beitrag antworten » |
Ich kenne nur das Gram-Schmidtsche Orthonormalisierungsverfahren. Das hat doch aber eigentlich nichts mit der Definitheit von Matrizen zu tun. Was hattet ihr denn in der Vorlesung zu diesem Verfahren? |
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20.06.2014, 01:29 | Matheneuling1991 | Auf diesen Beitrag antworten » |
Anscheinend wird eben dieses Verfahren angewendet und zu einem Widerspruch führen.. Genau gesagt ist die Formulierung: Prüfen Sie, ob B positiv de nit ist, indem Sie das Verfahren von Gram-Schmidt auf die kanonische Basis des R^4 mit der Bilinearform s_B(x;y) = x^tBy anwenden. B ist eine gegebene, bekannte symetrische Matrix. Mehr gibt die Aufgabe leider nicht her; Hast du eine Idee? |
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23.06.2014, 14:07 | Matheneuling1991 | Auf diesen Beitrag antworten » |
Ich erlaube mir, das Thema nach 3 Tagen ohne Antwort nochmals nach oben zu setzen, ich hoffe es ist okay.. Die Matrix ist übrigens: |
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23.06.2014, 17:21 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » |
Nimm die Bilinearform und bestimme aus der kanonischen Basis nach dem Gram-Schmidtschen Verfahren: und so weiter. Wenn du nun einen Vektor bezüglich der Basis beschreibst: bekommst du mit einem Polynom zweiten Grades, das sich nur aus Quadraten der bildet. |
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23.06.2014, 17:37 | Matheneuling1991 | Auf diesen Beitrag antworten » |
Okay, deine Antwort sieht sehr hübsch aus, aber kannst du mir das vll an einer ganz kleinen darstellenden Matrix zeigen? z.B. Die Matrix ist ganz offensichtlich symetrisch und nach dem Unterdeterminantenkriterium daher nicht positiv definit; Wie finde ich das jetzt mit Gram Schmidt heraus? Sorry, dass ich es noch nicht verstehe.. |
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23.06.2014, 17:57 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » |
Und warum machst du das nicht selber? Mit folgt für : Und habe ich genau wie beschrieben errechnet. Rechne es nach. |
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23.06.2014, 19:04 | Matheneuling1991 | Auf diesen Beitrag antworten » |
Okay sorry, hätte ich wenn ich etwas mehr Zeit investiert hätte doch mit der ersten Erklärung hinbekommen; Hier noch ein paar letzte Fragen dazu: 1. Wenn ich den Term errechnet habe, in dem Fall Dann muss ich schauen, ob der Term für alle lambda 1,2,... aus den reellen Zahlen > 0 ist, dann ist die darstellende Matrix der Bilinearform pos. definit, ansonsten nicht? 2. Funktionert dies auch bei nicht symetrischen Matrizen? |
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23.06.2014, 21:15 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » |
Es gibt den Begriff der positiven Definitheit wohl auch bei nicht-symmetrischen Matrizen. Mir selber ist er aber nur bei symmetrischen Matrizen geläufig. |
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23.06.2014, 22:05 | URL | Auf diesen Beitrag antworten » |
Man braucht ihn für nicht-symmetrische Matrizen nicht, weil man die quadratische Form immer auf eine mit symmetrischer Matrix zurückführen kann: und folglich mit symmetrischer Matrix |
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23.06.2014, 22:49 | Matheneuling1991 | Auf diesen Beitrag antworten » |
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