(Positiv)Definitheit einer Matrix

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20.06.2014, 00:09	Matheneuling1991	Auf diesen Beitrag antworten »
(Positiv)Definitheit einer Matrix Welche Möglichkeiten habe ich eine Matrix auf positve Definitheit zu überprüfen? Mir sind bekannt: 1. EW alle >0 2. ist die Matrix symetrisch, dann Hauptminorenkriterium Was gibt es sonst noch so? Kann man dazu vll ein kleines Beispiel geben? z.B. an einer 2x2 Matrix? Danke!
20.06.2014, 00:47	10001000Nick1	Auf diesen Beitrag antworten »
Mir fällt noch folgendes ein: Eine symmetrische Matrix ist genau dann positiv definit, wenn es eine Cholesky-Zerlegung dieser Marix gibt. Eine symmetrische streng diagonaldominante Matrix mit positiven Diagonalelementen ist positiv definit. Eine symmetrische positiv definite Matrix besitzt nur positive Diagonalelemente.
20.06.2014, 00:51	Matheneuling1991	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich soll in einem ÜB bei einer symetrischen Matrix B die postive Definitheit prüfen, indem ich das Verfahren von Gram Schmidt anwende: Wie geht das?
20.06.2014, 00:55	10001000Nick1	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich kenne nur das Gram-Schmidtsche Orthonormalisierungsverfahren. Das hat doch aber eigentlich nichts mit der Definitheit von Matrizen zu tun. Was hattet ihr denn in der Vorlesung zu diesem Verfahren?
20.06.2014, 01:29	Matheneuling1991	Auf diesen Beitrag antworten »
Anscheinend wird eben dieses Verfahren angewendet und zu einem Widerspruch führen.. Genau gesagt ist die Formulierung: Prüfen Sie, ob B positiv de nit ist, indem Sie das Verfahren von Gram-Schmidt auf die kanonische Basis des R^4 mit der Bilinearform s_B(x;y) = x^tBy anwenden. B ist eine gegebene, bekannte symetrische Matrix. Mehr gibt die Aufgabe leider nicht her; Hast du eine Idee?
23.06.2014, 14:07	Matheneuling1991	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich erlaube mir, das Thema nach 3 Tagen ohne Antwort nochmals nach oben zu setzen, ich hoffe es ist okay.. Die Matrix ist übrigens: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & 0 \\ 2 & 5 & 1 & 2 \\ 1 & 1 & 3 & 1 \\ 0 & 2 & 1 & 12 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$
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23.06.2014, 17:21	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Nimm die Bilinearform $\begin{eqnarray} \sigma(x,y) = x^{\top}By \end{eqnarray}$ und bestimme $\begin{eqnarray} v_1,v_2,v_3,v_4 \end{eqnarray}$ aus der kanonischen Basis $\begin{eqnarray} e_1,e_2,e_3,e_4 \end{eqnarray}$ nach dem Gram-Schmidtschen Verfahren: $\begin{eqnarray} v_1 = e_1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} v_2 = e_2 - \frac{\sigma(v_1,e_2)}{\sigma(v_1,v_1)} \cdot v_1 \end{eqnarray}$ und so weiter. Wenn du nun einen Vektor $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ bezüglich der Basis $\begin{eqnarray} v_1,v_2,v_3,v_4 \end{eqnarray}$ beschreibst: $\begin{eqnarray} x = \lambda_1 v_1 + \lambda_2 v_2 + \lambda_3 v_3 + \lambda_4 v_4 \end{eqnarray}$ bekommst du $\begin{eqnarray} \sigma(x,x) = p(\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3,\lambda_4) \end{eqnarray}$ mit einem Polynom $\begin{eqnarray} p \end{eqnarray}$ zweiten Grades, das sich nur aus Quadraten der $\begin{eqnarray} \lambda_j \end{eqnarray}$ bildet.
23.06.2014, 17:37	Matheneuling1991	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay, deine Antwort sieht sehr hübsch aus, aber kannst du mir das vll an einer ganz kleinen darstellenden Matrix zeigen? z.B. $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 3 & 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Die Matrix ist ganz offensichtlich symetrisch und nach dem Unterdeterminantenkriterium daher nicht positiv definit; Wie finde ich das jetzt mit Gram Schmidt heraus? Sorry, dass ich es noch nicht verstehe..
23.06.2014, 17:57	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Und warum machst du das nicht selber? Mit $\begin{eqnarray} v_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} , \, v_2 = \begin{pmatrix} -3 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ folgt für $\begin{eqnarray} x = \lambda_1 v_1 + \lambda_2 v_2 \end{eqnarray}$ : $\begin{eqnarray} \sigma(x,x) = {\lambda_1}^2 - 7 {\lambda_2}^2 \end{eqnarray}$ Und $\begin{eqnarray} v_1,v_2 \end{eqnarray}$ habe ich genau wie beschrieben errechnet. Rechne es nach.
23.06.2014, 19:04	Matheneuling1991	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay sorry, hätte ich wenn ich etwas mehr Zeit investiert hätte doch mit der ersten Erklärung hinbekommen; Hier noch ein paar letzte Fragen dazu: 1. Wenn ich den Term errechnet habe, in dem Fall $\begin{eqnarray} \lambda_1^2-7 \lambda_2^2 \end{eqnarray}$ Dann muss ich schauen, ob der Term für alle lambda 1,2,... aus den reellen Zahlen > 0 ist, dann ist die darstellende Matrix der Bilinearform pos. definit, ansonsten nicht? 2. Funktionert dies auch bei nicht symetrischen Matrizen?
23.06.2014, 21:15	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Es gibt den Begriff der positiven Definitheit wohl auch bei nicht-symmetrischen Matrizen. Mir selber ist er aber nur bei symmetrischen Matrizen geläufig.
23.06.2014, 22:05	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
Man braucht ihn für nicht-symmetrische Matrizen nicht, weil man die quadratische Form immer auf eine mit symmetrischer Matrix zurückführen kann: $\begin{eqnarray} x^TMx=(x^TMx)^T=x^TM^Tx \end{eqnarray}$ und folglich $\begin{eqnarray} x^TMx=x^T\frac{M+M^T}{2}x \end{eqnarray}$ mit symmetrischer Matrix $\begin{eqnarray} \frac{M+M^T}{2} \end{eqnarray}$
23.06.2014, 22:49	Matheneuling1991	Auf diesen Beitrag antworten »

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