Dichtefunktion

20.06.2014, 12:15

Simba33

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Dichtefunktion

Hallo,
ich bins nochmal. Habe noch eine Aufgabe gefunden die ich nur zur Hälfte gelöst bekomme.

Die Dichtefunktion f(x) einer Zufallsvariablen sei gegeben durch: $\begin{eqnarray*} f(x) = \frac{2}{49} * x^{1} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} 0 \leq x\leq 7 \end{eqnarray*}$ und 0 sonst.

(1) Berechnen Sie den Erwartungswert der oben angegebenen Zufallsvariablen!
Für E(x) habe ich 1 raus.

(2) Berechnen Sie die Varianz der oben angegebenen Zufallsvariablen!
Für Var(x) habe ich 3,66667 raus.

(3) Berechnen Sie das 0,55 Quantil der oben angegebenen Zufallsvariablen!

(4) Bestimmen Sie: $\begin{eqnarray*} W(0,8 < X \leq 5,2) \end{eqnarray*}$ !

Für (3) und (4) habe ich leider keine Ideen wie das gehen soll.

Ich wäre für eure Hilfe sehr dankbar.

gruss Simba33

20.06.2014, 13:11

HAL 9000

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Es ist $\begin{eqnarray*} E(X)=\frac{14}{3},\operatorname{Var}(X) = \frac{49}{18} \end{eqnarray*}$ , also sind (1),(2) schon falsch. Zeig mal deine Rechnung, damit wir den/die Fehler finden können.

Für (3),(4) wäre es nützlich, vorher die zugehörige Verteilungsfunktion

$\begin{eqnarray*} F(x) = \int\limits_{-\infty}^x f(t) ~ \dd t \end{eqnarray*}$

für allgemeine $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ zu ermitteln.

20.06.2014, 13:21

Simba33

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Ok hier die Rechnungen.

$\begin{eqnarray*} E(X) = \int_a^b \! 2/49 * x \, dx = \left[2/49 * 1/2 + x² \right]_{0}^{7} = \left[1/49 x²\right]_{0}^{7} = 1/49 * 7² - 0 = 1 \end{eqnarray*}$

b)

$\begin{eqnarray*} Var(X) = \int_0^7 \! 2/49 * x² \, dx - E(X)² = \left[2/49 * 1/3 * x³\right]_{0}^{7} - E(X)² =<br /> \left[2/147 * x³ \right]_{0}^{7} - 1² = 2/147 + 7³ - 1 = 3,66667 \end{eqnarray*}$

So dachte ich das mal.

gruss

20.06.2014, 13:24

HAL 9000

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Wieso rechnest du $\begin{eqnarray*} E(X) = \int f(x) ~ \dd x \end{eqnarray*}$ ? Es ist $\begin{eqnarray*} E(X) = \int {\color{red}x\cdot} f(x) ~ \dd x \end{eqnarray*}$ , sowie dann $\begin{eqnarray*} E(X^2) = \int {\color{red}x^2\cdot} f(x) ~ \dd x \end{eqnarray*}$ .

20.06.2014, 13:27

Simba33

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Ich habe es einfach so gerechnet wie eine Aufgabe aus dem Tutorium in dem auch so vorgegangen wurde. Dort steht nämlich nichts von dem x davor...
Dann werde ich das nochmal durch rechnen. Danke.

Wie bestimmt man denn so eíne Verteilungsfunktion von der Dichtefunktion für (3) und (4)?

gruss

20.06.2014, 14:18

Simba33

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Wenn ich die Verteilungsfunktion versuche ist das dann so:

$\begin{eqnarray*} F(x) = \int_a^b \! f(t) \, dx = \int_a^b \! 2/49 * t \, dx = \left[2/49 * 1/2 * t²\right]_{-\infty }^{x} = 2/49 * 1/2 * (-\infty )² - 2/49 * 1/2 * x² \end{eqnarray*}$

Weiter weiß ich leider nicht.
Bei a) und b) habe ich jetzt auch deine Ergebnisse raus bekommen.

Wie gehts denn nun da weiter?

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20.06.2014, 17:35

Simba33

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Ich habe jetzt nochmal etwas rumprobiert.
Ist die Verteilungsfunktion:

$\begin{eqnarray*} F = 1/49 * x² \end{eqnarray*}$

Habe dazu das Integral von -unendlich bis x = 0 und dann das Integral von 0 bis x gemacht..kann das dann so sein?

gruss

20.06.2014, 18:35

HAL 9000

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Zitat:

Original von Simba33
Ich habe es einfach so gerechnet wie eine Aufgabe aus dem Tutorium in dem auch so vorgegangen wurde. Dort steht nämlich nichts von dem x davor...

Dann irrt dein Tutorium: $\begin{eqnarray*} E(X) = \int f(x) ~ \dd x \end{eqnarray*}$ ist Unfug. Überdies ist immer $\begin{eqnarray*} \int f(x) ~ \dd x = 1 \end{eqnarray*}$ , denn das ist die Gesamtwahrscheinlichkeit (Normierung!). Sind bei euch alle Erwartungswerte gleich 1 ??? Finger1

Finger1

Der Erwartungswert wird so berechnet, wie ich es oben angegeben habe.

Zitat:

Original von Simba33
Ist die Verteilungsfunktion:

$\begin{eqnarray*} F = 1/49 * x² \end{eqnarray*}$

Genauer muss man sagen: Es ist $\begin{eqnarray*} F(x) = \frac{1}{49} x^2 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} 0\leq x\leq 7 \end{eqnarray*}$ , für andere $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ kommt was anderes raus!

20.06.2014, 18:58

Simba33

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Aber das für andere x interessiert bei einer Aufgabe ja gar nicht oder?

Wie gehe ich denn nun mit der Verteilungsfunktion weiter vor um auf (3) und (4) zu kommen?

Edit: Im Tutorium haben wir nicht viel dazu gemacht, aber die Formel die ich hatte, war die die ich oben benutzt habe. Aber es kommt öfters vor das wir falsche Formeln haben ...

20.06.2014, 19:08

HAL 9000

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Nicht kennengelernt, wie man eben Intervallwahrscheinlichkeiten berechnet? Es ist

$\begin{eqnarray*} W(a<X\leq b) = W(X\leq b) - W(X\leq a) = F(b)-F(a) \end{eqnarray*}$ .

Dies zu (4). Und bei (3) ist das 0.55-Quantil diejenige reelle Zahl $\begin{eqnarray*} q \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} F(q)=0.55 \end{eqnarray*}$ .

20.06.2014, 19:12

Simba33

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Also setze ich für (3) meine Verteilungsfunktion einfach = 0,55 und stelle nach x um?
Du sagtest ja für andere x wäre es eine andere Verteilungsfunktion, die spielt aber bei mir keine Rolle, weil ja dort steht sonst 0 oder?

Zu (4): Nein tut mir Leid, aber das kenne ich gar nicht. Wäre aber nett wenn du mir dabei weiter hilfst.

20.06.2014, 19:15

HAL 9000

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Zitat:

Original von Simba33
weil ja dort steht sonst 0 oder?

So formuliert muss ich schon wieder antworten: Nein - erneut ungenau.

Es ist $\begin{eqnarray*} F(x)=0 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x<0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} F(x)=1 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x>7 \end{eqnarray*}$ .

20.06.2014, 19:16

Simba33

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Okay das klingt logischer.
Aber wie gehe ich denn nun weiter vor? Muss ich jetzt F(x) = 0,55 setzen? Dann käme bei mir ein 0,55 Quantil von 5,1 raus.
Kann das sein?

20.06.2014, 19:18

HAL 9000

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Na gerundet eher 5.2, aber so stimmt es, ja.

20.06.2014, 19:21

Simba33

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Ja wollte ich auch gerade sagen. Also ist meine Lösung für (3) 5,19... ?
Also spielt es keine Rolle das wie du sagtest
$\begin{eqnarray*} F(x) = 0 x < 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} F(x) = 1 x < 7 \end{eqnarray*}$
für sonstige x sind?

Wie komme ich denn nun auf die (4) ?
Ich habe ja dann dort $\begin{eqnarray*} W(X\leq 5,2) - W(X\leq 0,8) \end{eqnarray*}$

Aber wie komme ich auf F(a) und F(b) ? Einfach in meine Funktion für x einmal 5,2 und einmal 0,8 einsetzen und die Werte voneinander abziehen?

20.06.2014, 19:32

Simba33

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Wenn dem so ist wäre das ja so:

$\begin{eqnarray*} F(x) = 1/49 * x² \end{eqnarray*}$

und ich muss ja F(b) - F(a) berechnen.

Also:

$\begin{eqnarray*} F(5,2) - F(0,8) = (1/49 * 5,2²) - (1/49 * 0,8²) = 0,5518367 - 0,0130612 = 0,5387754 \end{eqnarray*}$

Ist das dann meine Lösung für (4)?

20.06.2014, 19:49

HAL 9000

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Zitat:

Original von Simba33
Also spielt es keine Rolle das wie du sagtest
$\begin{eqnarray*} F(x) = 0 x < 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} F(x) = 1 x < 7 \end{eqnarray*}$
für sonstige x sind?

Wenn du das immer so formulierst "spielt keine Rolle", dann wird das nie was. Klar spielt es bei den Argumenten hier keine Rolle. Aber was ist, wenn z.B. $\begin{eqnarray*} W(3\leq X\leq 10) \end{eqnarray*}$ gefragt würde? Dann bringt stupides Einsetzen in $\begin{eqnarray*} F(x) = \frac{x^2}{49} \end{eqnarray*}$ das falsche Ergebnis. Deswegen ärgern mich derartige Verharmlosungen wie "spielt keine Rolle". unglücklich

unglücklich

20.06.2014, 19:51

Simba33

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Achso ja okay tut mir Leid. Das war eigentlich nur grade auf meine Berechnungen bezogen, aber dann werde ich mit solchen Aussagen wohl besser zurück halten.
Stimmt denn das was ich dort oben als Ergebnis für (3) und (4) raus habe?

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