Likelihood - Quotienten Test (diskrete Gleichverteilung)

20.06.2014, 13:50	steviehawk	Auf diesen Beitrag antworten »
Likelihood - Quotienten Test (diskrete Gleichverteilung) Meine Frage: Hallo Leute, ich möchte gerne folgende Aufgabe lösen und brauch Hilfe. Seien $\begin{eqnarray} X_1,..,X_n \end{eqnarray}$ iid, diskret auf $\begin{eqnarray} \{1,..,\theta \} \end{eqnarray}$ gleichverteilte Zufallsgrößen, wobei $\begin{eqnarray} \theta \geq 2 \end{eqnarray}$ ganzzahlig ist. Sei $\begin{eqnarray} \theta_0 \geq 2 \end{eqnarray}$ ganzzahlig und bekannt. Bestimmen Sie einen Likelihood - Quotienten Test (LQT) zum Niveau $\begin{eqnarray} \alpha \end{eqnarray}$ für a) $\begin{eqnarray} H_0: \theta \leq \theta_0 \ \text{gegen} \ H_1: \theta > \theta_0 \end{eqnarray}$ b) $\begin{eqnarray} H_0: \theta = \theta_0 \ \text{gegen} \ H_1: \theta \neq \theta_0 \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Bis jetzt weiß ich, dass die verallgemeinerte Likelihood Quotieten Statistik $\begin{eqnarray} L \end{eqnarray}$ die folgende Form hat: $\begin{eqnarray} L(X) := \frac{\sup_{\theta \in \Theta_1}p(X,\theta)}{\sup_{\theta \in \Theta_0} p(X,\theta) } \end{eqnarray}$ der LQT ist dann: $\begin{eqnarray} \delta(X) = {1}_{L(X) \geq c} \end{eqnarray}$ das muss ich jetzt irgendwie auf mein Problem hier anwenden.. Wir haben in der Vorlesung folgende Anleitung bekommen (diese ist auch in Czado und Schmidt zu finden) : 1) Bestimme MaxLik-Schäter $\begin{eqnarray} \hat{\theta} \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} \theta \in \Theta \end{eqnarray}$ 2) Bestimme MaxLik-Schätzer $\begin{eqnarray} \hat{\theta_0} \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} \theta \in \Theta_0 \end{eqnarray}$ 3) Berechne: $\begin{eqnarray} \lambda(X) = \frac{\sup_{\theta \in \Theta}p(X,\theta)}{\sup_{\theta \in \Theta_0} p(X,\theta) } \end{eqnarray}$ 4) Finde eine Fkt. $\begin{eqnarray} h \end{eqnarray}$ auf dem Wertebereich von $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ die strikt monoton wachsend ist und so, dass die Verteilung von $\begin{eqnarray} h(\lambda(X)) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} H_0 \end{eqnarray}$ bekannt ist. Dann ist: $\begin{eqnarray} \delta(X) = 1_{h(\lambda(X)) \geq h_{1-\alpha}} \end{eqnarray}$ der LQT wobei: $\begin{eqnarray} h_{1-\alpha} \end{eqnarray}$ das $\begin{eqnarray} (1-\alpha) \end{eqnarray}$ Quantil der Verteilung von $\begin{eqnarray} h(\lambda(X)) \end{eqnarray}$ unter $\begin{eqnarray} H_0 \end{eqnarray}$ ist. Ich versuche das also mal anzuwenden zuerst für die b) zunächst müsste ja $\begin{eqnarray} \Theta = \Theta_1 \stackrel{\cdot}{\cup} \Theta_0 = \{2,3,4,5,... \} \setminus \{ \theta_0 \} \stackrel{\cdot}{\cup} \{ \theta_0 \} \end{eqnarray}$ der MaxLik -Schätzer für $\begin{eqnarray} \theta \in \Theta_0 \end{eqnarray}$ ist $\begin{eqnarray} \hat{\theta_0} = \theta_0 \end{eqnarray}$ und für $\begin{eqnarray} \theta \in \Theta \end{eqnarray}$ erhält man: $\begin{eqnarray} \hat{\theta} = \max_{i=1,..,n} x_i \end{eqnarray}$ damit wären 1 und 2 erledigt. Jetzt zu 3) $\begin{eqnarray} \lambda(X) = \frac{p(X,\hat{\theta})}{p(X,\theta_0)} = \frac{\sup_{\theta \in \Theta}p(X,\theta)}{\sup_{\theta \in \Theta_0} p(X,\theta) } = ?? \end{eqnarray}$ hier stehen ja eigentlich die Dichte, aber was soll ich da bei einer diskrete Gleichverteilung hinschreiben? Die Wkt. Funktion? Oder die Zähldichte? Danke für die Hilfe EDIT: Also ich kann es mir momentan nur so vorstellen: $\begin{eqnarray} \lambda(X) = \frac{p(X,\hat{\theta})}{p(X,\theta_0)} = \frac{\sup_{\theta \in \Theta}p(X,\theta)}{\sup_{\theta \in \Theta_0} p(X,\theta) } = \frac{\sup_{\theta \in \Theta} \frac{1}{\theta}}{\sup_{\theta \in \theta_0} \frac{1}{\theta_0}} = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{\theta_0}} = \frac{\theta_0}{2} \end{eqnarray}$ und für den Wertebereich von $\begin{eqnarray} \lambda(X) = \frac{\theta_0}{2} \end{eqnarray}$ muss ich jetzt eine strikt monoton wachsende Funktion finden. mhh? Wie die wohl aussieht? Stimmt es den bis hier? Danke mh also ich muss ja bestimmt irgendwie die Schätzer reinbringen, also das $\begin{eqnarray} max X_i \end{eqnarray}$ .. vielleicht müsste es dann heißen: $\begin{eqnarray} \lambda(X) = \frac{sup_{\theta \in \Theta} \frac{1}{\max_{i=1,..,n}X_i}}{\frac{1}{\theta_0}} \end{eqnarray}$
21.06.2014, 14:48	steviehawk	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Likelihood - Quotienten Test (diskrete Gleichverteilung) Hallo Leute, ich könnte hier noch einiges an Hilfe gebrauchen.. bin leider noch nicht viel weiter gekommen seid gestern! Freu mich über alles Viele Grüße stevie
24.06.2014, 17:22	steviehawk	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Likelihood - Quotienten Test (diskrete Gleichverteilung) Hallo Leute, ich bin eine ganze Menge weiter gekommen Ich habe also mein Lambda bestimmt bzw. gleich die Funktion $\begin{eqnarray} h(x) = \ln(x) \end{eqnarray}$ noch drauf gesetzt, den Trick habe ich in der Vorlesung gesehen.. $\begin{eqnarray} \ln (\lambda(x)) = n \ln (\frac{\theta_0}{max_{i=1,..,n} x_i}) \end{eqnarray}$ Nun wurde in der Vorlesung auch verwendet, dass $\begin{eqnarray} n \cdot \ln (x) \end{eqnarray}$ streng monoton wachsend ist.. Also reicht es für den Test $\begin{eqnarray} \frac{\theta_0}{max_{i=1,..,n} x_i} \end{eqnarray}$ zu betrachten. Nur sollte ich jetzt wissen, wie das verteilt ist.. Kann mir das jemand sagen? der Test wäre dann $\begin{eqnarray} \tilde{\delta}(X) = 1_{\{ \frac{\theta_0}{max_{i=1,..,n} x_i}} \geq c \} \end{eqnarray}$ und c wäre das $\begin{eqnarray} 1-\frac{\alpha}{2} \end{eqnarray}$ Quantil der Verteilung von $\begin{eqnarray} \frac{\theta_0}{max_{i=1,..,n} x_i} \end{eqnarray}$ Kann mir jemand helfen bei der Verteilung?

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