Konvergente Reihen, die bedingt sind

20.06.2014, 14:06	reihenlos:)	Auf diesen Beitrag antworten »
Konvergente Reihen, die bedingt sind Meine Frage: a) Zeigen Sie, dass die Reihe $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=0}^\infty (-1) ^k \frac{1}{2k+1} \end{eqnarray}$ gegen eine Zahl kleiner als $\begin{eqnarray} 1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} \end{eqnarray}$ konvergiert. b) Konstruieren Sie eine Umordnung der obigen Reihe, die gegen eine Zahl größer als $\begin{eqnarray} 1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} \end{eqnarray}$ konvergiert. Konvergiert $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=0}^\infty (-1) ^k \frac{1}{2k+1} \end{eqnarray}$ absolut? c) Welche der folgenden Reihen konvergieren? Welche konvergieren absolut? $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=0}^\infty cos (k\pi ) \frac{1}{(2k+1)^2} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=0}^\infty (-1)^k\frac{k}{3k+5} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=0}^\infty \frac{1}{k} + (-1)^k\frac{1}{\sqrt{k} } \end{eqnarray}$ ------------------------------------------------------------------------ Finden Sie jeweils Folgen $\begin{eqnarray} a_{n} , b_{n}, c_{n} \end{eqnarray}$ , n Element der natürlichen Zahlen aus R mit den folgenden Eigenschaften oder beweisen Sie deren Nichtexistenz: d) $\begin{eqnarray} b_{n}--> 0, \sum\limits_{n=1}^\infty c_{n} \end{eqnarray}$ konvergent und $\begin{eqnarray} \sum\limits_{n=1}^\infty b_{n} c_{n} \end{eqnarray}$ divergent, e) $\begin{eqnarray} \sum\limits_{n=1}^\infty c_{n} = \infty , \| b_{n} \| -->\infty \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \sum\limits_{n=1}^\infty b_{n} c_{n} \end{eqnarray}$ konvergent. Meine Ideen: a) Ich habe erstmal Werte eingesetz k = 0 ergibt 1 k = 1 ergibt $\begin{eqnarray} -\frac{1}{3} \end{eqnarray}$ k = 2 ergibt $\begin{eqnarray} \frac{1}{5} \end{eqnarray}$ Bis hier hin sind das ja die gegebenen Werte. Dann habe ich weiter eingesetzt: k = 3 ergibt $\begin{eqnarray} -\frac{1}{7} \end{eqnarray}$ k = 4 ergibt $\begin{eqnarray} \frac{1}{9} \end{eqnarray}$ k = 5 ergibt $\begin{eqnarray} -\frac{1}{11} \end{eqnarray}$ Das könnte man ja noch weiter führen. Wenn man jetzt aber hier stoppt hätte man ja folgendes: $\begin{eqnarray} 1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \frac{1}{9}- \frac{1}{11} = 0.74... \end{eqnarray}$ und das ist ja kleiner als $\begin{eqnarray} 1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} = \frac{13}{15} 0 0,86... \end{eqnarray}$ Ist das so richtig und reicht das? b)Hier habe ich einfach das Minus bei der 1 weggelassen, sodass ich $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=0}^\infty (1) ^k \frac{1}{2k+1} \end{eqnarray}$ habe. Wenn ich dann wieder WErte einsetze habe ich k= 0 ergibt 1 k = 1 ergibt $\begin{eqnarray} \frac{1}{3} \end{eqnarray}$ k = 2 erbibt $\begin{eqnarray} \frac{1}{5} \end{eqnarray}$ k = 3 ergibt $\begin{eqnarray} \frac{1}{7} \end{eqnarray}$ Man sieht also, dass sich nur noch positive Werte ergeben, aber reicht das so? c) Reicht es, wenn ich einfach WErte einsetze um die konvergenz zu zeigen? Wie geht das mit der absoluten Konvergenz, wie kann ich diese zeigen? d) und e) da brauche ich Hilfe - Was muss ich genau tun? Ok ein Beweis ob die Folgen mit den Eigenschaften existieren oder nicht. Aber wie geht das genau? Wie muss ich vorgehen? Vielen, vielen Dank schonmal für die Hilfe.
20.06.2014, 15:04	bijektion	Auf diesen Beitrag antworten »
a) Da würde ich persönlich mir eine Argumentation wünschen, warum der Grenzwert kleiner sein muss. Dazu kannst du etwa die Monotonie von $\begin{eqnarray} \frac{1}{2k+1} \end{eqnarray}$ nutzen b) Die Reihe ist keine Umordnung und konvergiert auch nicht c) Was verstehst du unter "Werte einsetzen"? d) Meinst du solche Folgen existieren?
21.06.2014, 14:20	reihenlos:)	Auf diesen Beitrag antworten »
a) $\begin{eqnarray} \frac{1}{2k+1} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} a_{n+1}<a_{n} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \frac{1}{2(k+1)+1}<\frac{1}{2k+1} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \frac{1}{2k+3}<\frac{1}{2k+1} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 2k+3 > 2k+1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 3 > 1 \end{eqnarray}$ (streng monoton fallend) Den Gegenbeweis für monoton steigend habe ich auch gemacht und das führt zu einem Widerspruch. Ok, jetzt weiß ich dass die Reihe monoton fallend ist. Wie kann ich denn jetzt hieraus schließen, dass das jetzt kleiner 13/15 ist? b) Hast du da ein Beispiel, wie ich vorgehen muss? c) Ich hätte jetzt eventuelle verschiedene Werte eingesetzt und geschaut, was passiert. d) + e) Ganz ehrlich, ich habe da gar keine Vorstellung von. Bin noch ganz am Anfang des Studiums.
21.06.2014, 14:34	bijektion	Auf diesen Beitrag antworten »
a) Das vierte Glied ist negativ, aber es gilt $\begin{eqnarray} a_4>a_5 \end{eqnarray}$ b) Du musst überprüfen, ob $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=0}^\infty \frac{1}{2k+1} \end{eqnarray}$ konvergiert, das hat doch was von einer harmonischen Reihe, die divergiert. c) Nein, das geht nicht. Beim ersten kannst du etwa nutzen, das der $\begin{eqnarray} \cos \end{eqnarray}$ beschränkt ist. d) Schau dir folgende Folgen an: $\begin{eqnarray} c_n=b_n=\frac{(-1)^n}{\sqrt{n}} \end{eqnarray}$ .
21.06.2014, 18:20	reihenlos:)	Auf diesen Beitrag antworten »
a) Also, ich weiß nun, dass $\begin{eqnarray} \| a_{n} \| \end{eqnarray}$ eine monoton fallende Reihe ist und das wenn ich von 13/15 dann 1/7 abziehe dann $\begin{eqnarray} a_{3}>a_{4} \end{eqnarray}$ und auch wenn ich die weitern Glieder dazu bzw. abziehe wird wegen $\begin{eqnarray} \frac{1}{7} > \frac{1}{9} , \frac{1}{13} , \frac{1}{15} \end{eqnarray}$ b) $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=0}^\infty \frac{1}{2k+1} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \lim_{k \to \infty } \frac{1}{2k+1} < \frac{1}{2} \lim_{k \to \infty } \frac{1}{n} = 0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=0}^\infty \frac{1}{n} \end{eqnarray}$ divergent Das wäre mit den minoratenkriterium divergent und nun kommt die konvergenz für die alternierende Reihe. Wie mache ich das? c) cos ist eine beschränkte Folge zwischen -1 und 1. $\begin{eqnarray} \frac{1}{(2k+1)^2} \end{eqnarray}$ müsste eine Nullfolge sein. Nach Dirichlet-Reihe. Das wird also eine alternierdne Folge die sich mit ihren Werten immer mehr der x Achse oder null annähert. $\begin{eqnarray} cos (k\pi ) \end{eqnarray}$ ist mit k element aus N immer -1 oder 1. Also kann ich schreiben: $\begin{eqnarray} \frac{-1^k}{(2k+1)^2} \end{eqnarray}$ Das ist als kleiner als $\begin{eqnarray} \frac{-1^k}{(2k+1)} \end{eqnarray}$ Damit müsste ich doch einfach nur noch die _Konvergenz bestimmen. Aber das ist ja wie bei a) und ich weiß dann nicht wie ich das machen muss. d) $\begin{eqnarray} c_{n} = b_{n} = \frac{(-1)^n}{\sqrt{n} } \end{eqnarray}$ strebt gegen 0 konvergent $\begin{eqnarray} \frac{((-1)^n) (-1)^n}{\sqrt{n}\sqrt{n} } \end{eqnarray}$ = $\begin{eqnarray} \frac{1}{n} \end{eqnarray}$ e) $\begin{eqnarray} c_{n} = b_{n} = \frac{1}{n} \end{eqnarray}$ strebt gegen 0, als Reihe divergent $\begin{eqnarray} \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{n} \frac{1}{n} = \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2} \end{eqnarray}$ konvergent dirichlet Reihe mit s>1 in $\begin{eqnarray} \frac{1}{n^s} \end{eqnarray}$

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