Homogene lineare Differentialgleichung 5. Ordnung Lösen

20.06.2014, 15:09

MannyC

Homogene lineare Differentialgleichung 5. Ordnung Lösen

Ich habe hier eine homogene lineare Differentialgleichung fünfter Ordnung mit konstanten Koeffizienten gegeben. Nun wird von mir folgendes gefordert:

Bestimmen Sie ein System von Differentialgleichungen erster Ordnung, das zu (A) äquivalent
ist. Geben Sie die Matrix-Darstellung dieses Systems an.

(A) ist dabei $\begin{eqnarray*} y^{(5)}-3y^{(4)}+5y^{(3)}-7y''+6y'-2y=0 \end{eqnarray*}$

Wie löse ich das Problem nun und was soll ich genau berechnen? Wie ich DGL 2. Ordnung über die Fundamentalbasis löse ist mir bekannt. Ich weiss aber nicht ob mir das hier hilft.

Edit: Meine Idee wäre erst einmal die Lösungsmenge der charakteristischen Gleichung hiervon zu bestimmen. Ich weiss aber nicht ob man das hier so macht da ich mich nur mit 2. Ordnung auskenne.

Nochmaliges Edit: Wie schreibe ich eigentlich das Char. Polynom von zb. y`` +y`+y=0 auf? Es geht mir insbesondere um das y, da ja y` bereits als Lambda verwendet wird.

20.06.2014, 15:31

MannyC

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Folgendes brauch nicht beantwortet zu werden, da mir die Lösungs bekannt ist.

"Nochmaliges Edit: Wie schreibe ich eigentlich das Char. Polynom von zb. y`` +y`+y=0 auf? Es geht mir insbesondere um das y, da ja y` bereits als Lambda verwendet wird."

20.06.2014, 17:00

MannyC

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So habe nun etwas dazu gefunden, bin jedoch etwas verunsichert. Kann kann die gegebene DGL in folgendes System überführen.

$\begin{eqnarray*} \vec{y}'=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 2 & -6 & 7 & -5 & 3\end{pmatrix}\vec{y} \end{eqnarray*}$

War das schon alles zu der Aufgabe a? Oder muss ich hier nun die Lösungsmenge davon bestimmen. Teilaufgabe b wäre dann:

Bestimmen Sie ein Fundamentalsystem für die Differentialgleichung (A).

Eventuell wird die Lösungsmenge erst bei b erwartet. Deshalb warte ich lieber auf bestätigung/korrektur. Wink

20.06.2014, 17:05

DeltaX

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Zur Frage mit dem char. Polynom:

Der Ansatz bei DGL höherer Ord. ist immer:

$\begin{eqnarray*} y(x)=e^{\lambda x} \end{eqnarray*}$

Und wenn du eine DGL 2. Ordnung hast, wie in deinem ersten Edit beschrieben, musst du y, y' und y'' bilden und einsetzen.

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow y'(x)= \lambda \cdot e^{\lambda x} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow y''(x)= \lambda^2 \cdot e^{\lambda x} \end{eqnarray*}$

Eingesetzt in
$\begin{eqnarray*} y''+y'+y=0 \end{eqnarray*}$

ergibt:

$\begin{eqnarray*} \lambda^2 \cdot e^{\lambda x} + \lambda \cdot e^{\lambda x} + \cdot e^{\lambda x} =0 \end{eqnarray*}$

Da aber $\begin{eqnarray*} e^{\lambda x} \end{eqnarray*}$ keine Nullstelle besitzt, darf man dadurch teilen und erhält:

$\begin{eqnarray*} \chi ( \lambda ) = \lambda ^2 + \lambda + 1 =0 \end{eqnarray*}$

20.06.2014, 17:20

MannyC

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Danke, das hatte ich auch bereits so gelesen. Aber bist du auch der Meinung das man das hier auf die gegebene DGL anwendet und von der Polynomfunktion 5ten Grades die Nullstellen berechnet? Wie komm ich dann aber auf die gesuchte Matrix aus Aufgabe a?

20.06.2014, 18:51

HAL 9000

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Zitat:

Original von MannyC
Wie komm ich dann aber auf die gesuchte Matrix aus Aufgabe a?

Du meinst das hier:

Zitat:

Original von MannyC
$\begin{eqnarray*} \vec{y}'=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 2 & -6 & 7 & -5 & 3\end{pmatrix}\vec{y} \end{eqnarray*}$

Einfach, indem du

$\begin{eqnarray*} \vec{y}' = (y,y',y'',y^{(3)},y^{(4)})^T \end{eqnarray*}$ ,

betrachtest, d.h. der Vektor $\begin{eqnarray*} \vec{y}' \end{eqnarray*}$ besteht aus $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ und dessen ersten vier Ableitungen.

20.06.2014, 19:01

MannyC

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Hi und danke für die Aufmerksamkeit! Freude

Also die Aufgabe war ja folgende:

Bestimmen Sie ein System von Differentialgleichungen erster Ordnung, das zu (A) äquivalent
ist. Geben Sie die Matrix-Darstellung dieses Systems an.

Ich habe die Aufgabe absolut nicht verstanden bzw. was von mir verlangt wird. Nun habe ich im Skript nachgesehen und habe gedacht das dies hier eventuell passt. Wenn ich das anwende auf

(A) ist dabei $\begin{eqnarray*} y^{(5)}-3y^{(4)}+5y^{(3)}-7y''+6y'-2y=0 \end{eqnarray*}$

Ich komm nun auf die Matrix-Darstellung die erfordert wird:

$\begin{eqnarray*} \vec{y}'=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 2 & -6 & 7 & -5 & 3\end{pmatrix}\vec{y} \end{eqnarray*}$

Das kann man nun noch einmal als Gleichngssystem aufschreiben, nämlich indem man das anwendet was du gerade erwähnt hast. Wäre dann die Aufgabe schon gelöst und das war es was von mir verlangt war?

22.06.2014, 03:29

MannyC

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So ich frage lieber nochmal nach. Die Aufgabe lautet:

Bestimmen Sie ein System von Differentialgleichungen erster Ordnung, das zu (A) äquivalent
ist. Geben Sie die Matrix-Darstellung dieses Systems an.

(A) ist dabei $\begin{eqnarray*} y^{(5)}-3y^{(4)}+5y^{(3)}-7y''+6y'-2y=0 \end{eqnarray*}$

Meine Lösung zur Aufgabe:

Matrix-Darstellung

$\begin{eqnarray*} \vec{y}'=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 2 & -6 & 7 & -5 & 3\end{pmatrix}\vec{y} \end{eqnarray*}$

Ist das richtig? Muss ich noch die nicht Matrix-Darstellung darstellenw enn das richtig ist ?

23.06.2014, 02:46

MannyCC

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Keiner eine Idee ?Bin ganz durcheinander xD

23.06.2014, 14:59

DeltaX

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Wieso? Passt doch:

Zitat:

Geben Sie die Matrix-Darstellung dieses Systems an.

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