Likelihood - Quotienten Test (Exponentialverteilung)

20.06.2014, 15:38

steviehawk

Likelihood - Quotienten Test (Exponentialverteilung)

Meine Frage:
Hallo Leute, ich möchte gerne folgende Aufgabe lösen:

Seien $\begin{eqnarray*} X_1,..,X_n \end{eqnarray*}$ iid und $\begin{eqnarray*} \sim \ Exp(\theta) \end{eqnarray*}$ mit unbekanntem Parameter $\begin{eqnarray*} \theta \end{eqnarray*}$ . Man ist an dem Test für $\begin{eqnarray*} H_0: \theta = 1 \ ; \ H_1: \theta \neq 1 \end{eqnarray*}$ interessiert.

Bestimmen Sie den likelihood - Quotienten und den dazugehörigen Test auf Basis einer Stichprobe $\begin{eqnarray*} x = (x_1,..,x_n) \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Im einen anderen Post habe ich schon das vorgehen beschrieben, dass uns Nahe gelegt wurden sieh hier:
(http://www.matheboard.de/thread.php?threadid=542696)

1) $\begin{eqnarray*} \hat{\theta} = \frac{1}{\overline{x}} \end{eqnarray*}$
2) $\begin{eqnarray*} \hat{\theta_0} = 1 \end{eqnarray*}$

Nun bestimme ich den Likelihood Quotienten: der Sieht ja so aus: $\begin{eqnarray*} L(x) = \frac{\sup_{\theta \in \Theta_1}p(x,\theta)}{\sup_{\theta \in \Theta_0}p(x,\theta)} = \frac{\sup_{\theta \in \Theta_1} \frac{e^{\frac{-x}{\overline{x}}}}{\overline{x}} }{\sup_{\theta \in \Theta_0} e^{-x}} \end{eqnarray*}$

stimmt das? Ich tue mir jetzt schwer mit den doofen Supremum, wie kann ich das vereinfachen?

Danke für die Hilfe

23.06.2014, 13:22

steviehawk

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RE: Likelihood - Quotienten Test (Exponentialverteilung)
Kann mir hier vielleicht noch jemand helfen? Wäre echt klasse Freude

DANKE

23.06.2014, 17:04

Huggy

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RE: Likelihood - Quotienten Test (Exponentialverteilung)
Mit diesem Test bin ich nie in Berührung gekommen. Betrachte meine Antwort also mit der gebührenden Vorsicht. Sie beruht lediglich auf dem Wiki-Artikel zu diesem Test und rudimentären allgemeinen Kenntnissen der Stochastik + gesundem Menchenveratand. Nach dem Wiki-Artikel ist der Likelihood-Quotient:

$\begin{eqnarray*} L(\theta)=\frac{\sup_{\theta\in\Theta_0}\prod\limits_i\theta e^{-\theta x_i}}{\sup_{\theta\in\Theta}\prod\limits_i\theta e^{-\theta x_i}} \end{eqnarray*}$

Im Zähler steht hinter dem Supremum bei gegebener Stichprobe und der gegebenen Nullhypothese eine feste Zahl c, nämlich:

$\begin{eqnarray*} c=\prod\limits_i e^{-x_i} \end{eqnarray*}$

Nun ist $\begin{eqnarray*} \sup c = c \end{eqnarray*}$ . Der Zähler bereitet also keine Probleme.

Im Nenner steht nach dem Supremum:

$\begin{eqnarray*} d(\theta)=\prod\limits_i \theta e^{-\theta x_i}=\theta^n\prod\limits_i e^{-\theta x_i} \end{eqnarray*}$

Nun gilt offenbar

$\begin{eqnarray*} d(0)=0<d(\theta>0)>d(\infty)=0 \end{eqnarray*}$

Falls also $\begin{eqnarray*} d(\theta) \end{eqnarray*}$ im Bereich $\begin{eqnarray*} 0< \theta <\infty \end{eqnarray*}$ ein Maximum hat, ist das auch das Supremum.

Statt des Maximums von $\begin{eqnarray*} d(\theta) \end{eqnarray*}$ kann man auch das Maximum von $\begin{eqnarray*} \ln d(\theta) \end{eqnarray*}$ suchen. Potentielle Extrema findet man wie üblich durch Ableiten nach $\begin{eqnarray*} \theta \end{eqnarray*}$ .

23.06.2014, 17:39

steviehawk

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RE: Likelihood - Quotienten Test (Exponentialverteilung)
Danke Huggy, das hilft mir eine ganze Menge weiter.. Freude

Die Vorlesung bei uns geht nach dem Buch von Czado und Schmidt - mathematische Statistik, dort ist der Quotient gerade andersrum wie in Wiki gegeben.. der dazugehörige Test hat ja dann die Form:

$\begin{eqnarray*} \delta(X) = 1_{\{ L(X) \geq d\}} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} d \in \mathbb R^+ \cup \{ \infty \} \end{eqnarray*}$

Ich habe jetzt leider keine Zeit alles nochmal zu durchdenken, das werde ich dann morgen Nachmittag machen Wink

24.06.2014, 18:04

steviehawk

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RE: Likelihood - Quotienten Test (Exponentialverteilung)
Hallo Huggy, ich bin jetzt mal dabei geblieben, dass Zähler und Nenner gerade anders sind bei mir - im Test selbst kann man das ja durch $\begin{eqnarray*} \geq \end{eqnarray*}$ dann anpassen..

Ich habe jetzt: $\begin{eqnarray*} \L(X) = \frac{(\frac{1}{\overline X})^n \cdot e^{-n} }{c} \end{eqnarray*}$

jetzt müsste ich ja die Verteilung davon kennen, dass ich das richtige Quantil angeben kann oder?

Wie sieht denn hier die Verteilung aus? verwirrt

25.06.2014, 08:38

Huggy

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RE: Likelihood - Quotienten Test (Exponentialverteilung)

Zitat:

Original von steviehawk
Hallo Huggy, ich bin jetzt mal dabei geblieben, dass Zähler und Nenner gerade anders sind bei mir - im Test selbst kann man das ja durch $\begin{eqnarray*} \geq \end{eqnarray*}$ dann anpassen..

Den Quotienten kann man sicher in beiden Varianten ansetzen. Nehmen wir also deine.

Zitat:

Ich habe jetzt: $\begin{eqnarray*} \L(X) = \frac{(\frac{1}{\overline X})^n \cdot e^{-n} }{c} \end{eqnarray*}$

Kannst du das mal vorrechnen?

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