Monotonie und Krümmungsverhalten

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Knochenjockel Auf diesen Beitrag antworten »
Monotonie und Krümmungsverhalten
Guten Tag zusammen!

Ich sitze an einer Aufgabe und weiss nicht so Recht, wie ich dort vorgehen muss. Ich hoffe, dass ihr mir etwas unter die Arme greifen könnt.

Aufgabe:

Für x sei f (x) = .


a) Berechnen Sie f ' (x) und f '' (x).

So, dies habe ich bereits erledigt.

f ' (x)=

f ''(x)=


b) Bestimmen Sie möglichst große Teilintervalle von , auf denen f monoton fällt bzw. steigt.

Soweit ich weiss, setzt man die erste Ableitung gleich Null und löst nach x auf. Dann setzt man größere bzw. kleinere Werte als die Nullstellen in die erste Ableitung ein und dann erkennt man in welchem Intervall die Funktion steigt bzw. fällt.

Als Nullstellen der ersten Ableitung habe ich 0 und 1 heraus.


c) Bestimmen Sie möglichst große Intervalle, auf denen f konvex bzw. konkav ist.

Dort habe ich noch keine Ideen, würde gerne erstmal b) lösen.


d) Geben Sie an, in welchen Teilintervallen von R die Funktion f progessiv steigend, degressiv steigend, progressiv fallend bzw. degressiv fallend.

das selbe wie bei c)
Bürgi Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Monotonie und Krümmungsverhalten
Guten Tag,

the bad news first:
Zitat:
Als Nullstellen der ersten Ableitung habe ich 0 und 1 heraus.


Das ist falsch.

Ein Quotient ist null, wenn der Zähler null ist und der Nenner ungleich null. Löse also:

Knochenjockel Auf diesen Beitrag antworten »

Ah,natürlich. Dann sind die Nullstellen bei 1 und -1. Ist das Vorgehen bzgl der Monotonie, welches ich oben beschrieb, korrekt?
Knochenjockel Auf diesen Beitrag antworten »

Den Teil mit der Monotonie habe ich gelöst. Nun sitze ich an Aufgabenteil c)

Es gilt ja : f ist konvex auf I ---> f '' (x) >= 0
f ist konkav auf I ---> f '' (x) <= 0

Das ist noch kein Problem. Das Problem beginnt beim Auflösen nach x.

Die zweite Ableitung sieht sehr unhandlich aus. f ''(x)=

Gibt es irgendeinen Trick diese Funktion elegant nach x aufzulösen ?
Bürgi Auf diesen Beitrag antworten »

Guten Abend,

Du musst diese Ungleichung lösen:



Da der Nenner größer null für alle x ist, musst Du diese Ungleichung lösen:



d.h.

Dazu überlegst Du Dir, wann ein Produkt aus 2 Faktoren positiv ist.
Knochenjockel Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für diesen Hinweis!!!!

Mein Ergebnis lautet nun und . Heisst das nun, dass alles jenseits von konkav ist und alles was jenseits der verläuft konvex ist? Wie genau sieht es mit den Werten dazwischen aus?
 
 
Bürgi Auf diesen Beitrag antworten »

Guten Morgen,

Du hast richtig die Stellen berechnet, an denen sich etwas ändert. Die Aufgabenstellung verlangt von Dir allerdings die Angabe von Intervallen, weswegen ich einen anderen Ansatz wählen würde:

1. Ein Produkt aus 2 Faktoren ist positiv wenn beide Faktoren positiv (d.h. > 0) oder beide Faktoren negativ (d.h. < 0) sind. Auf Deinen Fall übertragen heißt das:

2.


3. Du siehst, Du bekommst zwei Intervalle (eins endet erst bei unendlich!), in denen die Funktion konvex ist.

Die Bestimmung der Intervalle, in denen die Funktion konkav ist, überlasse ich Dir.
Knochenjockel Auf diesen Beitrag antworten »

Kann man nicht einfach schreiben, dass die Funktion auf dem Intervall konvex ist und die Funktion auf de Intervall konkav ist?

Mir ist leider nicht ganz klar wie du die Intervalle bestimmt hast.
Bürgi Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

das solltest Du besser nicht schreiben, denn es ist falsch. Dir fehlen die beiden Intervalle, die zwischen und liegen.

Hier ist eine Skizze des Graphen:
[attach]34664[/attach]

(Achte darauf, dass die Skalierungen der Achsen unterschiedlich sind!)
Wie Du siehst, besteht der Graph aus 4 Teilen. Die Farbe der Teilgraphen ist so gewählt, dass gleiche Krümmungseigenschaften mit einem ähnlichen Farbton dargestellt werden.

Und was genau ist Dir an meinen Rechnungen nicht klar?
Knochenjockel Auf diesen Beitrag antworten »

Die Grafik hat mir super geholfen. Nun habe ich es verstanden glaube ich.

Die beiden Intervalle, wo die Funktion konkav ist, lauten : x< - Wurzel 3 und 0<x<wurzel3

Ist das korrekt?
Bürgi Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

kann man so stehen lassen. Wenn Du allerdings Intervalle schreiben musst, würde ich diese Form vorziehen:

Bei den anderen Intervallen entsprechend. (Beachte bitte, dass alle 4 Intervalle offen sind)
Knochenjockel Auf diesen Beitrag antworten »

Okay, danke für den Hinweis! Hast du auch einen Tipp für Aufgabenteil d)?
Bürgi Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

wie ist denn (z.B.) progressiv steigend definiert? Anders gefragt: Wann fängt das progressive Steigen an und wann hört es auf? Und wie kann man das in eine Rechnung umformen?
Knochenjockel Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe nochmal in meinen Unterlagen gewühlt folgende Definitionen gefunden:

f ist progressiv wachsend --> f' >= 0 und f '' >= 0

f ist degressiv wachsend --> f' >= 0 und f ''<=0

f ist progressiv fallend --> f' <= 0 und f '' <=0

f ist degressiv fallend --> f' <=0 und f ''>=0

Ich habe ja bereits für die Monotonie die Nullstellen der ersten Ableitung (1 und -1) sowie die Nullstellen der zweiten Ableitung ( Wurzel 3 und -Wurzel 3) berechnet.

Das sollte mir doch schon enorm weiterhelfen,oder?
Bürgi Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

Du musst jetzt nur noch diese ganzen Einzelergebnisse richtig zusammenfassen.

Bedenke bitte, dass der Graph zwei uneigentliche Extremstellen hat, die jetzt bei Deinen Überlegungen mit berücksichtigt werden müssen.

(Jetzt mal mathematisch fragwürdig formuliert: f hat einen Hochpunkt bei )


EDIT: Ich bin für heute off! Wink
Knochenjockel Auf diesen Beitrag antworten »

Das Problem ist, dass ich das nicht richtig zusammengefasst bekomme und die Sache mit den zwei uneigentlichen Extremstellen verwirrt mich komplett. Was genau hat das zu bedeuten?
Bürgi Auf diesen Beitrag antworten »

Guten Morgen,

"lies" den Graphen von f von links nach rechts:
Du startest ganz links an der höchsten Stelle . Der Graph fällt, erst gemächlich dann immer mehr (progressives Fallen), bis zu dem Punkt, an dem das Fallen seinen höchsten Wert erreicht (Welcher Punkt ist das?). Danach fällt der Graph zwar immer noch, aber das Fallen verlangsamt sich (degressives Fallen) bis zu dem Punkt, an dem das Fallen aufhört (Welcher Punkt ist das?).
Jetzt steigt der Graph. Das Steigen nimmt immer mehr zu (progressives Steigen), bis es seinen Maximalwert erreicht hat (Welcher Punkt ist das?). Danach steigt der Graph zwar immer noch, aber das Steigen verlangsamt sich (degressives Steigen) .... etc usw

Auf diese Art kannst Du insgesamt 6 Intervalle identifizieren. Die mehr formale Beschreibung mit erster und zweiter Ableitung überlasse ich Dir.
Knochenjockel Auf diesen Beitrag antworten »

Okay,dann versuche ich mal mein Glück:

1. Intervall fällt progressiv

2. Intervall fällt degressiv

3. Intervall steigt progressiv

4. Intervall steigt degressiv

5. Intervall steigt progressiv

6. Intervall fällt progressiv
Bürgi Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

das sieht doch schon (ziemlich) gut aus.

Die letzten beiden Zeilen sind allerdings falsch:

zu 5.: Der Graph hat einen Hochpunkt bei , d.h., für alle x > 1 fällt der Graph.

zu 6.: nach dem Wendepunkt verlangsamt sich das Fallen des Graphen deutlich.

Wenn Du diese beiden Aussagen repariert hast, ist alles OK!
Knochenjockel Auf diesen Beitrag antworten »

Supi,da bin ich einigermaßen beruhigt.

Ich würde nun sagen, dass das 5 Intervall progressiv fällt und das 6 degressiv fällt.
Bürgi Auf diesen Beitrag antworten »

Perfekt Freude

Eine persönliche Bemerkung zum Schluss: Ich fand es gut, dass Du hartnäckig bis zum Ende durchgehalten hast. Weiter so!
Knochenjockel Auf diesen Beitrag antworten »

Ich bedanke mich an dieser Stelle für deine Geduld und dein Kompliment!

Was getan werden muss, muss eben getan werden und da ich es lernen möchte, geht es nunmal nicht anders!

Schönen Rest-Sonntag!
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