Kreis- und Hyperbelfunktionen

20.06.2014, 23:39	ehm...	Auf diesen Beitrag antworten »
Kreis- und Hyperbelfunktionen Meine Frage: Hallo! Für jede komplexe Zahl z Element C ist definiert: $\begin{eqnarray} cos z := \frac{e^{iz} + e^{-(iz)} }{2} \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} sin z := \frac{e^{iz} - e^{-(iz)} }{2i} \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} <--> cosz\pm isinz = e^{\pm iz} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} cosh z := \frac{e^{z} + e^{-(z)} }{2} \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} sinh z := \frac{e^{z} - e^{-(z)} }{2} \end{eqnarray}$ . a) Man soll cos(x + iy) und sin(x + iy)für x,y Element R durch die Funktionen cos, sin, cosh und sinh an den reellen Stellen x, y ausdrücken. b) Zeigen Sie durch direktes Auflösen der Gleichung cosh x = y (x Element R größer gleich 0, y Element R größer gleich 1) dass die Umkehrfunktion zu cosh gegeben ist durch $\begin{eqnarray} Arcosh (y) = log (y + \sqrt{y^2 - 1}[/latexfür y Element R größer gleich 1.<br /> <br /> c)<br /> Leiten Sie eine analoge Formel für die Umkehrfunktion Artanh(y) von <br /> <br /> [Latex] tanh x := \frac{sinh x}{cosh x} \end{eqnarray}$ her. Für welche Werte von y Element Artanh(y) definiert? Meine Ideen: a) $\begin{eqnarray} cos z = \frac{e^{iz} + e^{-(iz)} }{2} = \frac{e^{i(x+iy)} + e^{-i(x+iy)} }{2} = \frac{1}{2}\cdot (e^{xi-y} + e^{-xi+y} = \frac{e^{xi} }{e^{y} } + \frac{e^{y} }{e^{xi} } = \frac{e^{xi^2}+e^{y^2} }{e^{y+xi} } \end{eqnarray}$ b)+c) =??????? Hilfe!
21.06.2014, 09:30	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Der Anfang der Rechnung in a) ist richtig. Zwischendrin bist du einmal des Faktors $\begin{eqnarray} \frac{1}{2} \end{eqnarray}$ verlustig gegangen. Und gegen Ende hast zunächst ungeschickt und dann auch noch falsch gerechnet (Potenzgesetze). Verwende die Funktionalgleichung der Exponentialfunktion (1. Potenzgesetz): $\begin{eqnarray} \frac{1}{2} \left( \operatorname{e}^{y - \operatorname{i}x} + \operatorname{e}^{-y + \operatorname{i}x} \right) = \frac{1}{2} \left( \operatorname{e}^y \cdot \operatorname{e}^{- \operatorname{i}x} + \operatorname{e}^{-y} \cdot \operatorname{e}^{\operatorname{i}x} \right) \end{eqnarray}$ Jetzt beachte $\begin{eqnarray} \operatorname{e}^{\operatorname{i}x} = \cos x + \operatorname{i} \cdot \sin x \, , \ \ \operatorname{e}^{-\operatorname{i}x} = \cos x - \operatorname{i} \cdot \sin x \end{eqnarray}$ und setze das ein und multipliziere aus. Ordne dann nach Real- und Imaginärteil.
21.06.2014, 12:42	ehm...	Auf diesen Beitrag antworten »
Also an a) gehe ich nochmal dran und melde mich dann nochmal. Und ich merke gerade, dass c) und d) nicht richtig bzw. gar nicht drin sind. Also noch mal: b) Zeigen Sie durch direktes Auflösen der Gleichung cosh x = y (x Element R größer gleich 0, y Element R größer gleich 1) dass die Umkehrfunktion zu cosh gegeben ist durch $\begin{eqnarray} Arcosh(y) = log (y + \sqrt{y^{2} - 1}) \end{eqnarray}$ für y Element R größer gleich 1 c) Leiten sie eine analoge Formel für die Umkehrfunktion Artanh(y) con $\begin{eqnarray} tanh x : = \frac{sinhx}{coshx} \end{eqnarray}$ her. Für welche Werte von y Element R ist Artanh(y) definiert? Also wie gesagt : ???????????????? zu c)+ d)

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