Zahlen mit interessanten Eigenschaften

21.06.2014, 12:23

Daifus

Zahlen mit interessanten Eigenschaften

Hallo,

ich soll alle positiven natürliche Zahlen a finden, die (1) mehr als 3 verschiedene positive ganzzahlige Teiler haben und (2) für alle Teiler b, c von a mit 1 < b < c < a auch c - b ein Teiler von a ist.

Leider hab ich überhaupt keine Idee. Beispiele solcher Zahlen wären 6, 8, 12 und so weiter. Weiß aber nicht, wie die miteinander zusammenhängen. Danke für eure Antwort.

29.06.2014, 14:11

0CBgQpwUoBA

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Hallo,
2|a(natürlich>5) ist hinreichend. Betrachte also gerade Zahlen a, die eine weitere (nat.) Zahl n>1 als Teiler haben.

Dann ergibt sich bei Wahl von c=2n und b=n deren Differenz c-b=n ebenfalls als ein Teiler von a und für die Gültigkeit von c<a ist ein weiterer Teiler m>1 notwendig (und auch hinreichend). Also a=2mn.

29.06.2014, 16:31

HAL 9000

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Zitat:

Original von Daifus
Beispiele solcher Zahlen wären 6, 8, 12 und so weiter.

"und so weiter" ist ein guter Witz: 6, 8 und 12 sind die einzigen Zahlen, die das erfüllen. Augenzwinkern

29.06.2014, 18:00

0CBgQpwUoBA

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verlesen
ach so, in

Zitat:

für alle Teiler b, c von a mit 1 < b < c < a

hatte ich "für alle" übersehen.

Dann bleibt mir natürlich nicht die freie Wahl von c=2n usw., sondern ich muss vielmehr zeigen, dass c-b für c=a/2 und b=2 kein Teiler von a sein kann. Das sollte für a>12 leicht zu zeigen sein, indem 2a < 3a-12 nach a/3 < c-b umgestellt wird und der Argumentation, dass zwischen a/3 und a/2 kein weiterer Teiler liegen kann.

Danke @HAL 9000 smile

29.06.2014, 19:52

HAL 9000

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Ich würde so argumentieren:

Sei $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ der kleinste Primteiler von $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ , dann ist $\begin{eqnarray*} a>p^2 \end{eqnarray*}$ (Die Fälle $\begin{eqnarray*} a=p \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} a=p^2 \end{eqnarray*}$ scheiden aus wegen nur 2 bzw. 3 positven Teilern). Sei nun im folgenden $\begin{eqnarray*} a=pn \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} n>p \end{eqnarray*}$ .

Mit $\begin{eqnarray*} b = p \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} c = n \end{eqnarray*}$ muss dann auch $\begin{eqnarray*} n-p \end{eqnarray*}$ ein Teiler von $\begin{eqnarray*} pn \end{eqnarray*}$ sein, es ist also $\begin{eqnarray*} \frac{pn}{n-p} = p + \frac{p^2}{n-p} \end{eqnarray*}$ ganzzahlig.

Es bleiben nur die drei Varianten $\begin{eqnarray*} n-p\in\{1,p,p^2\} \end{eqnarray*}$ übrig, was $\begin{eqnarray*} a=pn \in\{p(p+1),2p^2,p^2(p+1)\} \end{eqnarray*}$ bedeutet.

Da für $\begin{eqnarray*} p\geq 3 \end{eqnarray*}$ alle drei Möglichkeiten für $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ durch 2 teilbar sind, haben wir einen Widerspruch zur Aussage, dass $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ kleinster Primteiler von $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ ist.

Es verbleibt der Fall $\begin{eqnarray*} p=2 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} a\in\{6,8,12\} \end{eqnarray*}$ , und bei den drei kann man durch die Probe verifizieren, dass die tatsächlich die geforderte Eigenschaft aufweisen.

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