Chiquadrat verteilte Zufallsvariable mit n-1 Freiheitsgraden

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steviehawk Auf diesen Beitrag antworten »
Chiquadrat verteilte Zufallsvariable mit n-1 Freiheitsgraden
Meine Frage:
Hallo Leute, ich möchte gerne zeigen, dass die Zufallsgröße:

die Verteilung besitzt. Dabei Seien die iid Zufallsvariablen

Meine Ideen:
Also ich dachte mir das so komme aber jetzt nicht mehr weiter:
Ich Setze mit einer Zufallsvariable an und Forme um bis ich was schönes habe..







Wenn ich mir jetzt das erste und das letzte Gleichheitszeichen ansehe dachte ich ich könnte irgendwie auf das n-1 schließen, aber wenn ich die Gleichung umstelle nach meiner Variable von der ich die Verteilung suche, dann erhalte ich die Differenz zweier Chiquadrat verteilter Zufallsvariablen, was mir wohl nicht viel bringt..

Ist die Idee sowieo zum scheitern verurteilt oder kann man da noch was retten?
Danke für die Hilfe smile

ps: Beim Teilen würde es ja gehen, was man mit der charakteristischen Funktion sieht..

Im Netzt habe ich gerade eine Seite gefunden, wo die Gleichung steht:



warum sehen die das sofort, dass das dann diese Verteilung hat?

Kann ich die Freiheitsgrade einfach voneinander abziehen? Die reden da von Additivität der Chiqudratverteilung..
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Die Vorausssetzung lautet wohl eher statt .


Zunächst mal kann man durch die Normalisierung das dann tatsächlich auf standardnormalverteilte zurückführen, es ist dann

.


Zum eigentlichen Verteilungsnachweis, der ist etwas vertrackt, hier in groben Zügen eine mögliche Beweisstrategie: Es gibt für den Vektor eine lineare Transformation mit orthogonaler Matrix so, dass im Vektor die letzte Komponente gleich ist. Die Orthogonalität von impliziert dann wieder unkorreliertheite standardnormalverteilte , letztere dann wegen der Normalverteilung des Vektors dann auch wieder unabhängig, und es folgt auch

.
steviehawk Auf diesen Beitrag antworten »

würde es nicht letzlich auch über die charakteristische Funktion gehen? Mit der Formel:

?

Bei der Chiqudratverteilung habe ich ja:

HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von steviehawk
würde es nicht letzlich auch über die charakteristische Funktion gehen?

Vielleicht. Ich mach aber nicht jede deiner Gedankenwendungen mit, sondern habe lediglich erklärt, wie dieser Weg hier

Zitat:
Original von steviehawk
Im Netzt habe ich gerade eine Seite gefunden, wo die Gleichung steht:



warum sehen die das sofort, dass das dann diese Verteilung hat?

zu begründen ist.
steviehawk Auf diesen Beitrag antworten »

klar! Vielen Dank HAL 9000 Wink
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