Zeigen,dass a^9 = a (mod 30)

21.06.2014, 17:16	evinda	Auf diesen Beitrag antworten »
Zeigen,dass a^9 = a (mod 30) Hallo!!! Ich soll zeigen,dass : $\begin{eqnarray} \forall a: a^9 \equiv a \pmod{30} \end{eqnarray}$ . Ich habe folgendes versucht: $\begin{eqnarray} a^9 \equiv a \pmod {30} \Leftrightarrow a^9 \equiv a \pmod{2}, a^9 \equiv a \pmod{3}, a^9 \equiv a \pmod{5} \end{eqnarray}$ Vom kleinen Fermatschen Satz,weiß man,dass: $\begin{eqnarray} a^2 \equiv a \pmod 2 , \text{ also, } a^9 \equiv a^2 \cdot a^2 \cdot a^2 \cdot a^2 \cdot a \equiv a \cdot a \cdot a \cdot a \cdot a \equiv a^3 \equiv a^2 \cdot a \equiv a^2 \equiv a \pmod{2} \end{eqnarray}$ Außerdem,weiß man : $\begin{eqnarray} a^3 \equiv a \pmod 3 \text{ also hat man,dass : } a^9 \equiv a^{3+3+3} \equiv a^3 \cdot a^3 \cdot a^3 \equiv a^3 \equiv a \pmod 3 \end{eqnarray}$ Und,man weiß auch,dass: $\begin{eqnarray} a^5 \equiv a \pmod 5, \text{ also } a^9 \equiv a^{5+4} \equiv a^5 \cdot a^4 \equiv a^5 \equiv a \pmod 5 \end{eqnarray}$ Also,kommen wir zum Ergebnis,dass $\begin{eqnarray} a^9 \equiv a \pmod {30} \end{eqnarray}$ Könntet ihr mir sagen ob es richtig ist und ob es der einzige Weg ist zu zeigen,dass: $\begin{eqnarray} a^9 \equiv a \pmod {30} \end{eqnarray}$ ?
21.06.2014, 17:41	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Es ist richtig, aber es ist gewiss nicht der einzige Weg.
21.06.2014, 17:52	evinda	Auf diesen Beitrag antworten »
Schön!!! Wie könnte ich es noch zeigen?
21.06.2014, 20:42	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Na eine andere Möglichkeit: Es ist $\begin{eqnarray} a^9-a = a(a^8-1) = a(a-1)(a+1)(a^2+1)(a^4+1) \end{eqnarray}$ Nun ist von den drei aufeinander folgenden Zahlen $\begin{eqnarray} (a-1),a,(a+1) \end{eqnarray}$ mindestens eine durch 2 und genau eine durch 3 teilbar. Weiterhin ist $\begin{eqnarray} a^2+1\equiv a^2-4 = (a-2)(a+2)\bmod 5 \end{eqnarray}$ , und damit $\begin{eqnarray} a^9-a\equiv (a-2)(a-1)a(a+1)(a+2)(a^4+1)\bmod 5 \end{eqnarray}$ , und von den fünf aufeinander folgenden Zahlen $\begin{eqnarray} (a-2),(a-1),a,(a+1),(a+2) \end{eqnarray}$ ist auch genau eine durch 5 teilbar.

1

Verwandte Themen