Kurvenintegral

22.06.2014, 19:29

Dukaros

Kurvenintegral

Hi.. sorry wegen des erneuten hochstellens aber leider hat das irgendwie vorhin nicht geklappt...

Also ich muss das Kurvenintegral bestimmen und ich hab keine Ahnung wie ich das machen soll... ich komme einfach mit der schreibweise nicht parat (von der Aufgabe)...

ich würde zunächst so vorgehen:

$\begin{eqnarray*} c* \int_0^t \! F(\begin{pmatrix} a*t \\ 0 \\ \frac{-a*t^{2} }{2*t_{0} } \end{pmatrix} ) * \begin{pmatrix} a \\ 0 \\ -a*t \end{pmatrix} \, dt \end{eqnarray*}$

aber jetzt komme ich nicht weiter? Denn ich habe

$\begin{eqnarray*} \vec{r} = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

oder nicht? ...

Bitte um Hilfe!!

22.06.2014, 19:37

Leopold

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RE: Kurvenintegral

Zitat:

Original von Dukaros
$\begin{eqnarray*} c \color{blue} * \color{black} \int_0^t \! F(\begin{pmatrix} a*t \\ 0 \\ \frac{-a*t^{2} }{2*t_{0} } \end{pmatrix} ) \color{red} * \color{black} \begin{pmatrix} a \\ 0 \\ -a*t \end{pmatrix} \, dt \end{eqnarray*}$

Der Stern vor dem Integralzeichen bezeichnet die Multiplikation in $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ , der Stern im Integranden dagegen das Skalarprodukt zweier Vektoren. Überprüfe die Ableitung in der dritten Koordinate.
Beim Integral muß die obere Grenze $\begin{eqnarray*} t_0 \end{eqnarray*}$ heißen.

22.06.2014, 19:43

Leopold

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$\begin{eqnarray*} F(x_1,x_2,x_3) = c \cdot (x_1,x_2,x_3) \end{eqnarray*}$

Und jetzt setze $\begin{eqnarray*} x_1 = at \, , \ x_2 = 0 \, , \ x_3 = \frac{-at^2}{2t_0} \end{eqnarray*}$ ein.

22.06.2014, 19:43

Dukaros

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RE: Kurvenintegral
Ja das mit dem $\begin{eqnarray*} t_{0} \end{eqnarray*}$ hab ich leider nicht auf das Integral bekommen weil es immer runter gerutscht ist... okay die schreibweise dabei ist mir klar.. aber wie bekomme ich denn jetzt

$\begin{eqnarray*} \vec{r} = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

damit verrechnet? wenn ich $\begin{eqnarray*} \vec{r} = \begin{pmatrix} t \\ t \\ t \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ hätte, dann wäre mir das ja klar aber eben nicht mit x ...

22.06.2014, 19:46

Leopold

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Was bedeutet denn hier $\begin{eqnarray*} i \end{eqnarray*}$ ?

EDIT
Jetzt hat er das i weggemacht.

22.06.2014, 19:54

Leopold

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Von vorne. Ich schreibe Vektoren in Zeilen- statt Spaltendarstellung. Im Moment spielt das keine Rolle.

$\begin{eqnarray*} \vec{r} = (x_1,x_2,x_3) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \vec{F} \left( \vec{r} \right) = c \cdot \vec{r} = c \cdot (x_1,x_2,x_3) \end{eqnarray*}$

Der Malpunkt ist hier die skalare Multiplikation "Skalar mal Vektor".

Und jetzt sollst du speziell $\begin{eqnarray*} \vec{r} = (x_1,x_2,x_3) = \left( at \, , \, 0 \, , \, - \frac{a}{2t_0} t^2 \right) \end{eqnarray*}$ einsetzen.

22.06.2014, 19:57

Dukaros

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entschuldigung, das war zufällig 2 mal der gleiche Tippfehler...

also.. wenn ich das jetzt so mache wie du es vorgeschlagen hast dann verändert sich doch der Ausdruck letzlich nicht:

$\begin{eqnarray*} \int_0^t \! F(\begin{pmatrix} at \\ 0 \\ \frac{-at^{2} }{t_{0}} \end{pmatrix} ) * \begin{pmatrix} a \\ 0 \\ \frac{-at}{t_{0}} \end{pmatrix} \, dt = \int_0^t \! F(\begin{pmatrix} a^{2}t \\ 0 \\ \frac{a^{2}t}{2t_{0} ^{2} } \end{pmatrix} ) \, dt \end{eqnarray*}$

Hier soll F jetzt auch ein Vektor sein und die obere Integrationsgrenze soll $\begin{eqnarray*} t_{0} \end{eqnarray*}$ sein...

oh und ich hab den Parameter c vergessen... den würd ich natürlich vor das Integral als Konstante jeweils rausziehen

22.06.2014, 20:08

Leopold

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$\begin{eqnarray*} F \end{eqnarray*}$ ist doch eine (dreidimensionale) Funktion. Wenn du da etwas einsetzt, kann $\begin{eqnarray*} F \end{eqnarray*}$ nicht mehr vorkommen.

Beispiel (eindimensional): $\begin{eqnarray*} f(x) = x^2 \end{eqnarray*}$ . Wir setzen $\begin{eqnarray*} x=a^2b \end{eqnarray*}$ ein:

$\begin{eqnarray*} f \left( a^2b \right) = \underbrace{\left( a^2b \right)^2}_{f \ \text{kommt nicht mehr vor}} = a^4b^2 \end{eqnarray*}$

22.06.2014, 20:11

Dukaros

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ahja stimmt.. wie dumm von mir, sry... aber wenn ich F jetzt weglasse... stimmt es dann? Oder ist das immer noch falsch?...

22.06.2014, 20:26

Leopold

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Unterm Integral muß es in Spaltenschreibweise so heißen:

$\begin{eqnarray*} c \cdot \begin{pmatrix} at \\ 0 \\ - \frac{a}{2t_0} t^2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} a \\ 0 \\ - \frac{a}{t_0} t \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Und wie ich das schon einmal betont habe: Der zweite Malpunkt steht für das Skalarprodukt von Vektoren. Du weißt doch, wie man ein solches ausrechnet ... oder nicht?

Und jetzt bitte richtig rechnen, z.B. Potenzgesetze!

22.06.2014, 20:45

Dukaros

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Hi,

Vielen vielen Dank für die Hilfe!
Ich denke so sollte es jetzt stimmen, oder?

$\begin{eqnarray*} c\cdot \int_0^t \! F(\begin{pmatrix} at \\ 0 \\ \frac{-at^{2} }{2t_{0}} \end{pmatrix} ) \cdot \begin{pmatrix} a \\ 0 \\ \frac{-at}{t_{0}} \end{pmatrix} \, dt = c \cdot \int_0^t \! a^{2}t + \frac{a^{2}t^{3}}{2(t_{0})^{2} } \, dt \end{eqnarray*}$

und dann Integriere ich entsprechend noch die Funktion, was ja in dem Fall das einfachste ist.
Außerdem ist die obere Grene ja wieder $\begin{eqnarray*} t_{0} \end{eqnarray*}$ und F ein Vektor

22.06.2014, 20:51

Leopold

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Zitat:

Original von Dukaros
Hi,

Vielen vielen Dank für die Hilfe!
Ich denke so sollte es jetzt stimmen, oder?

$\begin{eqnarray*} c\cdot \int_0^{\color{red} t_0 \color{black}} \! F(\begin{pmatrix} at \\ 0 \\ \frac{-at^{2} }{2t_{0}} \end{pmatrix} ) \cdot \begin{pmatrix} a \\ 0 \\ \frac{-at}{t_{0}} \end{pmatrix} \, dt = c \cdot \int_0^t \! \color{red} \left( \color{black} a^{2}t + \frac{a^{2}t^{3}}{2(t_{0})^{2} } \color{red} \right) \color{black} \, dt \end{eqnarray*}$

und dann Integriere ich entsprechend noch die Funktion, was ja in dem Fall das einfachste ist.
Außerdem ist die obere Grene ja wieder $\begin{eqnarray*} t_{0} \end{eqnarray*}$ und F ein Vektor

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