Rotationskörper

22.06.2014, 20:47	Spitzbub	Auf diesen Beitrag antworten »
Rotationskörper Meine Frage: Hallo, ich habe mich gefragt ob man das Volumen einer Kugel über einen Halbkreis den man um 360° dreht berechnen kann?... Die Formel für das Kugelvolumen ist ja 4/3 * Pi * r^3. Ich bin davon ausgegangen, dass man mit der halben Kreisfläche,(r^2Pi/2) mit 2 Pi multipliziert, auch das Volumen einer Kugel ergibt?.. Setze ich einen Wert ein komme ich nicht auf das gleiche Volumen, warum weis ich nicht.. Meine Ideen:* Habe den Grundgedanken beim rechnen mit den Gudinischen regeln bekommen. Dor wird ja auch ein Rotationssymetrischer Körper einmal um die eigene Achse gedreht, um das Volumen zu berechnen?
22.06.2014, 23:57	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Das geht auch hier. Die Formel für das Volumen des Rotationskörpers lautet $\begin{eqnarray} \text{Volumen} = \text{Inhalt Rotationsfläche} \cdot \text{Weg des Schwerpunkts} \end{eqnarray}$ Der Halbkreis vom Radius $\begin{eqnarray} r \end{eqnarray}$ sitze auf der Rotationsachse auf. Sein Schwerpunkt liegt auf seiner Symmetrieachse im Abstand $\begin{eqnarray} \varrho = \frac{4r}{3 \pi} \end{eqnarray}$ von der Rotationsachse (das kann man z.B. mit Integralrechnung zeigen). Gemäß der obigen Formel gilt folglich für das Kugelvolumen $\begin{eqnarray} V = \frac{1}{2} \pi r^2 \cdot 2 \pi \varrho \end{eqnarray}$ Denn bei der Rotation bewegt sich der Schwerpunkt auf einem Kreis vom Radius $\begin{eqnarray} \varrho \end{eqnarray}$ . Wenn man umgekehrt die Volumenformel für die Kugel als bekannt voraussetzt, kann man aus der obigen Formel die Lage $\begin{eqnarray} \varrho \end{eqnarray}$ des Halbkreisschwerpunkts berechnen.

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