CauchyProdukt Indizes

22.06.2014, 21:20

akamanston

CauchyProdukt Indizes

hi all,

ich bin mir sicher mir kann jemand bei der nächsten sache helfen. ich habe hier eine lösung und versteh sie nicht ganz. ich denke es geht um das cauchyprodukt und indexverschiebung.

ich soll zeigen dass

$\begin{eqnarray*} \frac{exp(x)}{1-x} =\sum\limits_{m=0}^\infty (\frac{1}{0!} +\frac{1}{1!} +...+\frac{1}{m!} )x^{m} \end{eqnarray*}$

beweis:
$\begin{eqnarray*} <br /> \frac{exp(x)}{1-x}= e^{x} \frac{1}{1-x}=(\sum\limits_{k=0}^\infty \frac{x^{k} }{k!} )(\sum\limits_{l=0}^\infty x^{l} )=\sum\limits_{m=0}^\infty (\sum\limits_{k=0}^m \frac{1}{k!}x^{k} x^{m-k} )=\sum\limits_{m=0}^\infty (\sum\limits_{k=0}^m \frac{1}{k!}x^{m} )=\sum\limits_{m=0}^\infty (\frac{1}{0!} +\frac{1}{1!} +...+\frac{1}{m!} )x^{m}<br /> \end{eqnarray*}$

^^
ich würd ganz gern die blöden stellen markieren.

also bei mir hätte es ja schon an dem punkt gescheitert, an dem man erkennen muss dass $\begin{eqnarray*} \frac{1}{1-x} \end{eqnarray*}$ sich als geometrische reihe darstellen lässt. ein kleiner und fieser trick.
aber naja ok, weiter gehts.
mann hat dann das produkt und formt es um=) das ist mir klar. aber die ganzen buchstaben- omg!!!

anscheinend werden die beiden produkte mit unterschiedlichen indizes ( k und l) irgendwie auf m umgemünzt? wieso verschwindet dann dass l aber das k bleibt? und die letzte umformung kann ich auch nicht nachvollziehen.

23.06.2014, 07:50

bijektion

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Das ganze geht aber auch nur für $\begin{eqnarray*} |x|<1 \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

anscheinend werden die beiden produkte mit unterschiedlichen indizes ( k und l) irgendwie auf m umgemünzt?

Das soll wohl dabei helfen, dass man erkennt, dass hier das Cauchy-Produkt gebildet wurde.

Die letzte Umformung gilt wegen $\begin{eqnarray*} \sum_{n=0} c\cdot a_n = c\cdot \sum_{n=0} a_n \end{eqnarray*}$ für eine von $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ unabhängige Konstante $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ .

23.06.2014, 21:19

Leopold

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RE: CauchyProdukt Indizes

Zitat:

Original von akamanston
also bei mir hätte es ja schon an dem punkt gescheitert, an dem man erkennen muss dass $\begin{eqnarray*} \frac{1}{1-x} \end{eqnarray*}$ sich als geometrische reihe darstellen lässt. ein kleiner und fieser trick.

Die geometrische Reihe gehört zum "kleinen Einmaleins der Analysis". In vielen praktischen Rechnungen und theoretischen Beweisen ist sie ein unerläßliches Hilfsmittel. Du solltest sie sehr schnell in dein Standardrepertoire aufnehmen. Dann ist das kein fieser Trick mehr, sondern die naheliegendste Sache der Welt.

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