Matrizen Gleichheit

22.06.2014, 23:08

Matrizius

Matrizen Gleichheit

Abend zusammen, ich habe die Aufgabe:

Man bestimme alle reellen $\begin{eqnarray*} 2\times 2 \end{eqnarray*}$ Matrizen $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ , die $\begin{eqnarray*} A^2=-I \end{eqnarray*}$ erfüllen.

Ich dachte mir dazu:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}^2=\begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Ich bin dann auf:

$\begin{eqnarray*} a^2+bc=-1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} b(a+d)=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} c(a+d)=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} cb+d^2=-1 \end{eqnarray*}$ gekommen. Nun habe ich zwei Fälle unterschieden:

1Fall: $\begin{eqnarray*} b=c=0 \end{eqnarray*}$

Dann erhalte ich aus der zweiten bzw. dritten Gleichung:

$\begin{eqnarray*} a+d=0 \end{eqnarray*}$ also $\begin{eqnarray*} a=-d \end{eqnarray*}$

Wenn ich das nun in die erste und dritte Gleichung einsetze ergibt es:

$\begin{eqnarray*} a^2=-1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} d^2=-1 \end{eqnarray*}$ was in $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ nicht lösbar ist.

2Fall: $\begin{eqnarray*} b\neq 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} c\neq 0 \end{eqnarray*}$

Dann habe ich aus der ersten und vierten Gleichung

$\begin{eqnarray*} d^2+bc=-1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} d^2+bc=-1 \end{eqnarray*}$ und die zweite minus die erste gerechnet also:

$\begin{eqnarray*} d^2+bc-a^2-bc=0 \end{eqnarray*}$ das ergibt dann $\begin{eqnarray*} d^2-a^2=0 \end{eqnarray*}$ und das wiederrum: $\begin{eqnarray*} (d-a)(d+a)=0 \end{eqnarray*}$ demnach also $\begin{eqnarray*} d=a \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} d=-a \end{eqnarray*}$ .

Nun hänge ich an dem nächsten Schritt. Nun dachte ich mir ich setze es in die zweite bzw. dritte Gleichung ein. Dann habe ich:

$\begin{eqnarray*} b(a+d)=0 \end{eqnarray*}$ ist dann $\begin{eqnarray*} b(d+d)=0 \end{eqnarray*}$ also $\begin{eqnarray*} 2db=0 \end{eqnarray*}$ und da $\begin{eqnarray*} b\neq 0 \end{eqnarray*}$ gilt muss $\begin{eqnarray*} d=0 \end{eqnarray*}$ sein. Das Gleiche ergibt sich für $\begin{eqnarray*} c(a+a)=0 \end{eqnarray*}$ also $\begin{eqnarray*} 2ac=0 \end{eqnarray*}$ also muss $\begin{eqnarray*} a=0 \end{eqnarray*}$ sein. Für den anderen Fall d=-a erhalte ich 0=0 was eine wahre Aussage ist.

Also muss die Matrix $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ die Form haben
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} bc & 0 \\ 0 & bc\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} b\neq 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} c\neq 0 \end{eqnarray*}$

Ist das richtig?

Vielen Dank! smile

22.06.2014, 23:18

10001000Nick1

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RE: Matrizen Gleichheit

Zitat:

Original von Matrizius
1Fall: $\begin{eqnarray*} b=c=0 \end{eqnarray*}$

Dann erhalte ich aus der zweiten bzw. dritten Gleichung:

$\begin{eqnarray*} a+d=0 \end{eqnarray*}$ also $\begin{eqnarray*} a=-d \end{eqnarray*}$

Wieso das?

Der Fall " $\begin{eqnarray*} b=0 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} c=0 \end{eqnarray*}$ " kann gar nicht eintreten, weil dann aus der ersten Gleichung $\begin{eqnarray*} a^2=-1 \end{eqnarray*}$ folgen würde. D.h. du brauchst dich nur um den Fall $\begin{eqnarray*} "b\neq 0 \text{ und } c\neq 0" \end{eqnarray*}$ kümmern.
Was du da machst, verstehe ich auch nicht ganz. Aus der zweiten bzw. dritten Gleichung folgt dch sofort, dass dann $\begin{eqnarray*} a+d=0 \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} a=-d \end{eqnarray*}$ sein muss.

22.06.2014, 23:30

Matrizius

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RE: Matrizen Gleichheit
Hallo 10001000Nick1,

ja, den ersten Fall habe ich doch abgefrühstückt und auch begründet warum es nicht funktioniert. Ich verstehe den Einwand jetzt nicht? verwirrt

im zweiten Fall habe ich die erste und die vierte Gleichung betrachte also:

$\begin{eqnarray*} a^2+bc=-1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} cb+d^2=-1 \end{eqnarray*}$ und die zweite minus die erste Gleichung gerechnet. Dann kommt herauß:

$\begin{eqnarray*} d^2-a^2=0 \end{eqnarray*}$ und dann einmal faktorisiert $\begin{eqnarray*} (d-a)(d+a)=0 \end{eqnarray*}$ also $\begin{eqnarray*} d=a \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} d=-a \end{eqnarray*}$ als Lösungen. Ist jetzt klar was ich gerechnet habe? smile

22.06.2014, 23:34

10001000Nick1

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RE: Matrizen Gleichheit

Zitat:

Original von Matrizius
ja, den ersten Fall habe ich doch abgefrühstückt und auch begründet warum es nicht funktioniert. Ich verstehe den Einwand jetzt nicht? verwirrt

Ich wollte wissen, wieso da $\begin{eqnarray*} a+d=0 \end{eqnarray*}$ gelten muss.

Zitat:

Original von Matrizius
$\begin{eqnarray*} a^2+bc=-1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} cb+d^2=-1 \end{eqnarray*}$ und die zweite minus die erste Gleichung gerechnet. Dann kommt herauß:

$\begin{eqnarray*} d^2-a^2=0 \end{eqnarray*}$ und dann einmal faktorisiert $\begin{eqnarray*} (d-a)(d+a)=0 \end{eqnarray*}$ also $\begin{eqnarray*} d=a \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} d=-a \end{eqnarray*}$ als Lösungen. Ist jetzt klar was ich gerechnet habe? smile

Ja, das stimmt ja auch. Aber man kann sogar sagen, dass $\begin{eqnarray*} d=-a \end{eqnarray*}$ sein muss ( $\begin{eqnarray*} d=a \end{eqnarray*}$ ist nicht möglich). Warum, hatte ich ja oben schon geschrieben.

22.06.2014, 23:48

Matrizius

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RE: Matrizen Gleichheit
Achso ja wenn d=a gelten würde dann wäre die zweite bzw. dritte Gleichung

$\begin{eqnarray*} b(a+d)=0 \end{eqnarray*}$ also $\begin{eqnarray*} b(a+a)=0 \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} 2ab=0 \end{eqnarray*}$ und damit $\begin{eqnarray*} a=0 \end{eqnarray*}$ da nach Voraussetzung $\begin{eqnarray*} b\neq 0 \end{eqnarray*}$ gilt. Meinst du das so?

Wie sieht denn jetzt die Lösung der Matrix aus, es gilt ja $\begin{eqnarray*} b\neq 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} c\neq 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} a=-d \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} d=-a \end{eqnarray*}$

Soll ich mir für $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ einfach eine Variable einführen $\begin{eqnarray*} \alpha\in\mathbb R \end{eqnarray*}$ oder wie? verwirrt

22.06.2014, 23:57

10001000Nick1

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RE: Matrizen Gleichheit

Zitat:

Original von Matrizius
Soll ich mir für $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ einfach eine Variable einführen $\begin{eqnarray*} \alpha\in\mathbb R \end{eqnarray*}$ oder wie? verwirrt

Wenn, dann müsstest du zwei neue Variablen einführen. Das musst du aber nicht machen. Du nimmst jetzt einfach die erste oder die vierte Gleichung, und stellst diese nach b oder c um. Dann hast du alle nötigen Bedingungen gefunden.

23.06.2014, 00:12

Matrizius

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RE: Matrizen Gleichheit
Ok, ich versuche es mal. Ich habe dann: $\begin{eqnarray*} A=\begin{pmatrix} -d & \frac{-1-d^2}{c} \\ \frac{-1-d^2}{b} & a \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} a,b,c,d\in\mathbb R \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} c,d\neq 0 \end{eqnarray*}$ . So richtig? smile

23.06.2014, 00:18

10001000Nick1

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Wir hatten doch oben schon, dass $\begin{eqnarray*} d=-a \end{eqnarray*}$ sein muss; d.h. der Eintrag rechts unten ist das negative von dem Eintrag rechts oben. Das geht aber aus deiner Matrix nicht hervor. Da müsste stehen: $\begin{eqnarray*} A=\begin{pmatrix} a & \cdots \\ \cdots & -a \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

(oder auch $\begin{eqnarray*} A=\begin{pmatrix} -d & \cdots \\ \cdots & d \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ).

Genau so die beiden anderen Einträge: Du hast gezeigt, dass $\begin{eqnarray*} c=\frac{-1-d^2}{b}=\frac{-1-a^2}{b} \end{eqnarray*}$ sein muss. Also muss die Matrix so aussehen: $\begin{eqnarray*} A=\begin{pmatrix} a & b \\ \frac{-1-a^2}{b} & -a \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} b\neq 0 \end{eqnarray*}$ .

23.06.2014, 13:12

Matrizius

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Oh man, natürlich. Jetzt ist alles klar und vielen Dank für deine Hilfe! Wink

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