Anstieg in Richtung eines Winkels (Richtungsableitung)

Neue Frage »

SkalarSteffi Auf diesen Beitrag antworten »
Anstieg in Richtung eines Winkels (Richtungsableitung)
Meine Frage:
Berechne den Anstieg der Funktion:


im Punkt in Richtung des Winkels

Für welchen Winkel ist der Anstieg maximal?




Meine Ideen:
Im Skript steht:
"Der Gradient gibt demnach die Richtung an, in die die Funktion den stärksten Anstieg hat"

Also habe ich die partiellen Ableitung von
x gleich
y gleich

Folgt:


Wie muss ich weiter machen?!

Lg Vanessa
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Es handelt sich um die Bestimmung der Richtungsableitung, ich habe den Thementitel dahingehend angepasst.
Der Gradientenvektor ist nun skalar mit der durch den Winkel bestimmten "Einheitsrichtung" (normierter Richtungsvektor, Länge 1) zu multiplizieren.

Offensichtlich hast du den Richtungsvektor schon gegeben (dieser heisst übrigens NICHT , sondern durch ihn wird erst der Winkel bestimmt), sodass du diesen Vektor nur noch zu normieren hast.
Danach ist also das Skalarprodukt zu bilden und die Koordinaten des Punktes einzusetzen.

Kannst du das nun zu Ende führen?

mY+
SkalarSteffi Auf diesen Beitrag antworten »

Hey, danke erstmal vielmals für die Antwort!

Ich bin glaube ich aber noch nicht wirklich auf den richtigen weg!

Ich korregiere noch eben einen Tippfehler:

"... in Richtung des Winkels "

ferner habe ich nun:



Der Gradientenvektor ist nun skalar mit der durch den Winkel bestimmten "Einheitsrichtung" (normierter Richtungsvektor, Länge 1) zu multiplizieren.


Was erhalte ich damit?!
Ich weiß nicht wie ich aus dem Winkelintervall einen Richtungsvektor bekomme ...

Also ich habe einen Ansatz von meinem Tutor bekommen:



wie komme ich auf

tut mir leid, falls das "dumme" fragen sein sollten unglücklich

Lg Vanessa
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

"Dumme" Fragen gibt es nicht Big Laugh
--------
Nach deiner Korrektur sieht die Sache etwas anders aus, denn der Richtungsvektor bzw. dessen Winkel (mit der positiven x-Achse) ist nicht explizit gegeben.
Der Winkel befindet sich im angegebenen Intervall.

Definitionsgemäß ist (RA = Richtungsableitung)

, wobei der Richtungsvektor ist.
Mit diesem Ansatz hat auch schon die geforderte Länge .

ist der Winkel von gegen die positive x-Achse, aber nicht der Winkel zwischen dem Gradientenvektor und dem Richtungsvektor.

Deshalb ist

Das ist das allgemeine Ergebnis der RA für den Richtungswinkel .
Setzt man als den Winkel zwischen den beiden Vektoren, so ist - nach den Regeln der Bildung des Skalarproduktes - dessen Betrag gleich .
Das ist auch der Hinweis des Tutors, wobei wie gesagt auf die unterschiedlichen Winkel zu achten ist!

Und jetzt ist der maximale Anstieg zu ermitteln. Anschaulich ist klar, dass dies nur in der Gradientenrichtung der Fall sein kann, also bei , denn dann ist dessen cos maximal (1).
Damit ist aber noch nicht der nachgefragte Winkel berechnet.
Weisst du, wie es nun weitergehen kann?

Hinweis:
Es gibt zwei Möglichkeiten, eine davon ist, den oben bereits berechneten Ausdruck zu maximieren, die andere?
Was kommt?

EDIT: Vertauschungsfehler korrigiert.

mY+
SkalarSteffi Auf diesen Beitrag antworten »

Hey

Müsste das nicht

Deshalb ist

heißen?! oder ist das egal?!

Ist also der maximale Anstieg ?

Also mit deiner Maximierungsmethode bin ich nicht vertraut! Wenn ich diesen Ausdruck habe muss ich ja für einsetzen und habe das maximum?! Richtig?! (auch wenn mich das nicht wirklich weiterbringt!

Mein zweiter Ansatz wäre:

Immer wenn es was mit maximum und Minimum zutun hat, wäre doch ne Ableitung nicht schlecht, um die Funktion auf Extrema zu untersuchen?! verwirrt

Lg Vanessa
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, nein, das ist nicht egal, ich habe beim Gradienten die Koordinaten vertauscht, sorry! Da hast du Recht, ich korrigiere das gleich!
_______________

Der maximale Anstieg stimmt, aber du sollst ja auch den Winkel berechnen. Und so kannst du entweder die Ableitung (richtig erkannt!) benützen (Null setzen, auf Extremwert prüfen, etc.) oder einfach den Winkel des Gradientenvektors berechnen, klar?
Bemerkung: Der gesuchte Winkel ist NICHT ODER , sondern er liegt ZWISCHEN und (!)

mY+
 
 
SkalarSteffi Auf diesen Beitrag antworten »

Also ich habe mich entschieden, dass mit der Winkelberrechnung zu machen, da ableitung bzw extremstellenberrechnung nicht ohne Taschenrechner geht ...

Wir haben zum Thema Winkelberrechnung folgendes im Skript:

" ... mit Hilfe der trigonometrischen Funktion Kosinus bzw. der Umkehrfunktion den Winkel zwischen den beiden Vektoren definieren, nämlich durch



Im Netz/Literatur finde ich aber die Formel nur mit anstatt
ist das egal?!

Ich habe mich erstmal dran gehalten und bekomme:



=

=

Das bringt mich aber nicht weiter .... verwirrt

Lg Vanessa
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Du solltest dich nicht allzusehr auf den TR stützen, ein wenig Handarbeit, und schon hast du den Extremwert:





Null setzen, -->







----------------------

----------------------

Alternative: In Richtung des Gradienten ist die RA am größten, also ist der Winkel des Gradientenvektors zu bestimmen:

Der Vektor hat die Steigung , also ist sein Winkel

Ich möchte dich nochmals darauf hinweisen, dass der Winkel für den maximalem Anstieg gefragt ist, nicht der Winkel zwischen den beiden Vektoren: Gradienten- und Richtungsvektor (Unterschiedliche Winkel und ).
Zwar kann dieser auch berechnet werden, er muss jedoch dann ebenfalls zu der maximalen Steigung führen. Es ist klar, dass dieser Winkel dann (phi = ) 0° betragen muss, gleichlautend mit der Forderung, dass maximal werden muss. Nun ist daraus erst recht wieder der Winkel für die maximale Steigung zu ermitteln.
(Hinweis: Nicht der Winkel soll maximal werden, sondern nach wie vor die RA ...)

mY+
Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen

Die Beliebtesten »
Die Größten »
Die Neuesten »