DGL: (x^2+2)y'+xy-x(x^2+2)=0

24.06.2014, 09:17

schweinebacke123

DGL: (x^2+2)y'+xy-x(x^2+2)=0

Meine Frage:
Hi wollte wissen ob meine Variablenseparation soweit stimmt?

Wenn ja wie soll ich weiter machen wie löse ich dann das Integral?

Meine Ideen:
$\begin{eqnarray*} (x^2+2)y'+xy-x(x^2+2)=0 (x^2+2)y'+xy = x(x^2+2) y' = \frac{x(x^2+2)-xy}{x^2+2)} dy = x(1-\frac{y}{x^2+2})dx \frac{1}{1-\frac{y}{x^2+2}}dy = x dx \end{eqnarray*}$

24.06.2014, 09:25

klarsoweit

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RE: DGL: (x^2+2)y'+xy-x(x^2+2)=0
Von einer erfolgreichen Separation kann ja wohl keine Rede sein, da auf der linken Seite noch das x vorkommt. Ich würde mich erstmal auf das Lösen der homogenen DGL konzentrieren.

24.06.2014, 09:37

schweineback123

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RE: DGL: (x^2+2)y'+xy-x(x^2+2)=0
Wo genau ist denn mein Fehler? Ich habe schon einfachere DGL gelöst, aber in diesem Fall steh ich irgendwie auf dem Schlauch. Wie soll ich denn beginnen?

24.06.2014, 09:52

klarsoweit

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RE: DGL: (x^2+2)y'+xy-x(x^2+2)=0
Nun ja, was heißt "Fehler"? Du hast dir ein Ziel (Variablenseparation) vorgenommen, es aber nicht erreicht. Und wie ich schon sagte, betrachte die homogene DGL. Das ist diese:

Zitat:

Original von schweinebacke123
$\begin{eqnarray*} (x^2+2)y'+xy = x(x^2+2) \end{eqnarray*}$

mit einer Null auf der rechten Seite.

24.06.2014, 10:51

schweinebacke123

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RE: DGL: (x^2+2)y'+xy-x(x^2+2)=0
Hi, vielen Dank für die Hilfe! Wenn ich die homogene DGL löse komme ich auf folgendes Ergebnis: (Integral mit z=x^2+2 lösen) Stimmt es soweit?

$\begin{eqnarray*} (x^2+2)y'+xy = 0 (x^2+2)y' = -xy \int \! \frac{1}{y} \, dy = \int \! \frac{-x}{x^2+2} \, dx ln(y) = \frac{-ln(x^2+2)}{2} + C ln(y) = ln(\frac{1}{\sqrt{x^2+2}} )+ C y = \frac{C}{\sqrt{x^2+2}} \end{eqnarray*}$

Anschließend führe ich noch die Variation der Konstanten durch:

$\begin{eqnarray*} y = \frac{k(x)}{\sqrt{x^2+2}} y' = \frac{k'(x)*\sqrt{x^2+2}-\frac{x}{\sqrt{x^2+2}}*k(x) }{x^2+2} \end{eqnarray*}$

Jetzt nur noch in die Inhomogene DGL einsetzen und berechnen:

$\begin{eqnarray*} k'(x)*\sqrt{x^2+2} - \frac{x}{\sqrt{x^2+2} } k(x) + \frac{x}{\sqrt{x^2+2} }k(x) = x(x^2+2) k'(x)*\sqrt{x^2+2} = x(x^2+2) k'(x) = x(\sqrt{x^2+2}) k(x) = \frac{1}{3}(x^2+2)^\frac{3}{2} \end{eqnarray*}$

Allerdings dürfte das hoch 3/2 nicht vorkommen laut meiner Lösung. Wo habe ich einen Fehler gemacht?

Entschuldige für meine Unfähigkeit smile

Ich habe so meine Probleme mit DGL .

Jetzt

24.06.2014, 10:58

klarsoweit

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RE: DGL: (x^2+2)y'+xy-x(x^2+2)=0
Also ich kann jetzt keinen Fehler entdecken. Was steht denn genau in der Lösung?

24.06.2014, 11:06

schweinebacke123

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RE: DGL: (x^2+2)y'+xy-x(x^2+2)=0
Also in der lösung steht folgender Ausdruck: ( Wolfram Alpha liefert auch das Ergebnis)

$\begin{eqnarray*} y = \frac{C}{\sqrt{x^2+2}} +\frac{1}{3}(x^2+2) \end{eqnarray*}$

24.06.2014, 11:14

schweinebacke123

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RE: DGL: (x^2+2)y'+xy-x(x^2+2)=0
Entschuldige habe zu schnelle gerechnet

Habe vergessen die Konstante am Ende in die Funktion y= ... einzusetzen und dann erst alls Summe hinten dranzuhängen.

Hammer

Vielen Dank für deine Hilfe!!

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DGL: (x^2+2)y'+xy-x(x^2+2)=0

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