Folgen stochastisch unabhängiger Zufallsvariablen

24.06.2014, 13:44	planlos93	Auf diesen Beitrag antworten »
Folgen stochastisch unabhängiger Zufallsvariablen Meine Frage: Sei $\begin{eqnarray} \left(X_{n} \right) _{n\in \mathbb N } \end{eqnarray}$ eine Folge stochastisch unabhängiger Zufallsvariablen mit: $\begin{eqnarray} P\left(X_{n}=n^{\alpha}\right)=\frac{1}{2}=P\left(X_{n}=-n^{\alpha} \right) \end{eqnarray}$ für ein $\begin{eqnarray} \alpha \in \mathbb R \end{eqnarray}$ . Zeigen Sie: a) Für $\begin{eqnarray} \alpha \geq 1 \end{eqnarray}$ gilt das schwache Gesetz der großen Zahlen nicht. b) Für $\begin{eqnarray} \alpha \geq -\frac{1}{2} \end{eqnarray}$ gilt der zentrale Grenzwertsatz. Meine Ideen: Folgendes habe ich mir schon überlegt: zu a) Seien die $\begin{eqnarray} X_{n} \end{eqnarray}$ wie in der Aufgabenstellung unabhängig identisch verteilt. Dann gilt $\begin{eqnarray} \mathbb E X_{i} = \frac{1}{2} n^{\alpha } + \frac{1}{2} (-n)^{\alpha } =0 \end{eqnarray}$ , also $\begin{eqnarray} \mathbb E \left(S_{n} \right) =\mathbb E \left(\sum\limits_{i=1}^n X_{i} \right) = \sum\limits_{i=1}^n \mathbb E X_{i} =0 \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} S_{n} = \sum\limits_{i=1}^n X_{i} \end{eqnarray}$ Außerdem $\begin{eqnarray} \mathbb V X_{i} = \frac{1}{2}\left(n^{\alpha } \right)^{2}+\frac{1}{2}\left(-n^{\alpha } \right) ^{2}-0^{2}= \frac{1}{2}n^{2\alpha } + \frac{1}{2} n^{2\alpha }=n^{2\alpha } \end{eqnarray}$ , also $\begin{eqnarray} \mathbb V S_{n} = \sum\limits_{i=1}^n \mathbb V X_{i} = n^{2\alpha +1} \end{eqnarray}$ (bei dem ersten = wegen Unabhängigkeit und bei dem 2. = wegen der identischen Verteilung). Es gilt $\begin{eqnarray} P\left(\| \frac{1}{n}S_{n}-\mathbb E X_{i} \| > \epsilon \right) = P\left(\| S_{n} \| > n\epsilon \right) \leq \frac{\mathbb VS_{n} }{n^{2} \epsilon^{2} } = \frac{n^{2\alpha +1} }{n^{2} \epsilon^{2} } = \frac{n^{2\alpha -1}}{\epsilon^{2}} \leq \frac{n^{2-1} }{\epsilon^{2}} = \frac{n}{\epsilon^{2}} \Rightarrow \lim_{n \to \infty} \frac{n}{\epsilon^{2}} = \infty \neq 0<br /> \Rightarrow P\left(\| \frac{1}{n}S_{n}-\mathbb E X_{i} \| > \epsilon \right)\neq 0 \end{eqnarray}$ für n-> $\begin{eqnarray} \infty \end{eqnarray}$ und das WLLN gilt nicht. zu b) Es gilt die Lyapniov-Bedingung: $\begin{eqnarray} \frac{1}{\sqrt{\sum\limits_{i=1}^n \mathbb VX_{i} }^{2+\delta} } \sum\limits_{i=1}^n \mathbb E\| X_{i}-\mathbb EX_{i} \| ^{2+\delta} = \frac{1}{\left(n^{2\alpha +1} \right)^{1+\frac{\delta}{2} } } \sum\limits_{i=1}^n \mathbb E\| X_{i} \| ^{2+\delta} =\frac{1}{n^{\left(2\alpha +1\right) \left(1+\frac{\delta}{2} \right) } } n\cdot \left(n^{\alpha } \right) ^{2+\delta} =\frac{1}{n^{2\alpha +\delta\alpha +1+\frac{\delta}{2} } } n\cdot n^{2\alpha +\delta\alpha } =\frac{1}{n^{\frac{\delta}{2} } } =\frac{1}{n} \end{eqnarray}$ . Hierbei benutze ich folgendes: 1. Beim ersten = ohne Summe: $\begin{eqnarray} \mathbb EX_{i} = \frac{1}{2} n^{\alpha } + \frac{1}{2} \left(-n^{\alpha } \right) = n^{\infty } \end{eqnarray}$ , 2. Beim letzten = verwende ich $\begin{eqnarray} \delta= 2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty } \frac{1}{n} = 0 \end{eqnarray}$ => Lindeberg-Bedingung => CLT gilt. Leider verschwindet das $\begin{eqnarray} \alpha \end{eqnarray}$ komplett, weswegen die Voraussetzung ja überflüssig wäre. Könnt ihr mir sagen, ob die a) so stimmt und was bei der b) nicht passt? Vielen Dank schon mal!
24.06.2014, 15:55	rebel888	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Folgen stochastisch unabhängiger Zufallsvariablen Du hast die Summe der Varianzen falsch berechnet.
25.06.2014, 10:44	planlos93	Auf diesen Beitrag antworten »
Kannst du mir auch sagen, inwiefern? Ich sehe es nämlich gerade nicht wirklich.

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