Matrix mit positiver Spalte

24.06.2014, 19:47

flohaase

Matrix mit positiver Spalte

Hallo zusammen,

ich würde gerne wissen, wann man die Spalte einer Matrix als positiv bezeichnet. Wenn die Summe der Spalte größer als 0 oder größer als 1 ist?

Hier ein Beispiel:

$\begin{eqnarray*} Q = \left( \begin{matrix} 1 & 0 \\ 1 & 0 \end{matrix} \right) \end{eqnarray*}$

Hier ein Auszug aus dem Skript:

Beschränkung auf die Existenz von $\begin{eqnarray*} Q^{\infty} \end{eqnarray*}$ : Angenehme Situation im Ergodensatz: Besitzt $\begin{eqnarray*} Q^{n} \end{eqnarray*}$ eine positive Spalte, dann existiert $\begin{eqnarray*} Q^{\infty} \end{eqnarray*}$ und zwar mit den gleichen Zeilen.

$\begin{eqnarray*} Q = \left( \begin{matrix} 1 & 0 \\ 1 & 0 \end{matrix} \right) \rightarrow Q^{2}= \left( \begin{matrix} 1 & 0 \\ 1 & 0 \end{matrix} \right) \rightarrow Q^{\infty} = \left( \begin{matrix} 1 & 0 \\ 1 & 0 \end{matrix} \right) \end{eqnarray*}$

Wenn ich jetzt $\begin{eqnarray*} Q = \left( \begin{matrix} 0.5 & 0 \\ 0.5 & 0 \end{matrix} \right) \end{eqnarray*}$ wähle, dann stimmt das ja nicht mehr.

Daher noch die Frage. Muss die Spalte zusammen größer 0 sein, oder jeder Eintrag der Spalte?

Danke, beste Grüße
Flo

25.06.2014, 07:19

HAL 9000

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Schlechtes Beispiel

Zitat:

Original von flohaase
Wenn ich jetzt $\begin{eqnarray*} Q = \left( \begin{matrix} 0.5 & 0 \\ 0.5 & 0 \end{matrix} \right) \end{eqnarray*}$ wähle, dann stimmt das ja nicht mehr.

Das ist ja auch KEINE stochastische Matrix - die Zeilensummen sollten schon 1 sein!

Zitat:

Original von flohaase
Muss die Spalte zusammen größer 0 sein, oder jeder Eintrag der Spalte

Jeder Eintrag, denn z.B. für $\begin{eqnarray*} Q = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ existiert kein $\begin{eqnarray*} Q^{\infty} \end{eqnarray*}$ .

Das "muss" bezieht sich aber nur auf dieses hinreichend Kriterium, es ist keine notwendige Forderung für die Existenz von $\begin{eqnarray*} Q^{\infty} \end{eqnarray*}$ .

10.07.2014, 19:27

flohaase

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Ich denke, dass ich nicht daran gedacht habe, dass die Matrix so ja nicht stochastisch ist. Danke

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