Vandermonde-Determinante berechnen

24.06.2014, 19:47	Vadermond	Auf diesen Beitrag antworten »
Vandermonde-Determinante berechnen Hi Freunde, ich habe die Aufgabe: Für $\begin{eqnarray} x_1,...,x_n\in\mathbb K \end{eqnarray}$ sei $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ die $\begin{eqnarray} (n\times n) \end{eqnarray}$ Matrix mit den Einträgen $\begin{eqnarray} a_{ij}=x_i^{j-1} \end{eqnarray}$ . Man bestimme $\begin{eqnarray} det(A) \end{eqnarray}$ . Das heißt ja ich soll die Vadermond Determinante berechnen. Ich habe erst einmal die Determinante aufgestellt. $\begin{eqnarray} \begin{vmatrix}1 & x_1& ... & x_1^{j-1} \\1 & x_2 & ... &x_2^{j-2} \\. & . & ... & . \\. & . & . & . \\1 & x_{i}& ... & x_{i}^{j-1}\end{vmatrix} \end{eqnarray}$ Ich dachte mir ich kann die Determinante mit dem Laplace Entwicklungssatz bearbeiten also habe ich nach der ersten Spalte entwickelt. $\begin{eqnarray} \begin{vmatrix}1 & x_1& ... & x_1^{j-1} \\0 & (x_2-x_1) & ... &x_2^{j-2}-x_1^{j-1} \\. & . & ... & . \\. & . & . & . \\0 & (x_{i}-x_1)& ... & (x_{i}^{j-1}-x_1^{j-1})\end{vmatrix} \end{eqnarray}$ So, jetzt weiß ich nicht weiter. Kann ich die Determinante eventuell noch weiter mit dem Laplace Entwicklungssatz bearbeiten oder hätte ich direkt mit dem Gauß-Algo anfangen sollen und versuchen damit die Matrix zu vereinfachen? Mahalo!
24.06.2014, 20:37	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich weiß ja nicht, ob du dich von Darth Vader hast inspirieren lassen, der Herr, um den es hier geht, heißt jedenfalls Vandermonde. In der Matrix muß in der letzten Spalte der Exponent $\begin{eqnarray} n-1 \end{eqnarray}$ und in der letzten Zeile der Index $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ heißen. Geschickter erscheint mir das folgende Vorgehen: Addiere das $\begin{eqnarray} (-x_1) \end{eqnarray}$ -fache der vorletzten Spalte zur letzten, das $\begin{eqnarray} (-x_1) \end{eqnarray}$ -fache der drittletzten zur vorletzten und so weiter bis schließlich das $\begin{eqnarray} (-x_1) \end{eqnarray}$ -fache der ersten Spalte zur zweiten. Wenn du dann nach der ersten Zeile entwickelst, verbleibt eine $\begin{eqnarray} (n-1) \end{eqnarray}$ -reihige Determinante, bei der du aus der ersten Zeile $\begin{eqnarray} x_2-x_1 \end{eqnarray}$ , aus der zweiten $\begin{eqnarray} x_3-x_1 \end{eqnarray}$ und so weiter vor die Determinante ziehen kannst. Die neue Determinante hat wieder die Struktur einer Vandermondeschen Determinante. Eine Induktion bringt die Rechnung zu Ende. Es bietet sich an, das Vorgehen erst an einem Beispiel- $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ zu studieren. Vorschlag: $\begin{eqnarray} n=4 \end{eqnarray}$ .
24.06.2014, 21:46	Vadermond	Auf diesen Beitrag antworten »
Puh, dass scheint mir wirklich ziemlich verworren zu werden. Muss man das so durchziehen oder führt mein Ansatz garnicht zum Ziel? Falls nein, habe ich ja keine Wahl ...
24.06.2014, 22:19	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ist nicht so verworren. Jedenfalls entwirrt sich alles sehr bald, wenn du, wie von mir vorgeschlagen, vorgehst. Bei deinem Vorgehen erkennst du auch, daß man aus der zweiten Zeile $\begin{eqnarray} x_2-x_1 \end{eqnarray}$ vor die Determinante ziehen kann, denn alle Glieder enthalten den Faktor $\begin{eqnarray} x_2-x_1 \end{eqnarray}$ . Denke an die Formeln $\begin{eqnarray} a^2-b^2 = (a-b)(a+b) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} a^3-b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} a^4-b^4 = (a-b)(a^3 + a^2b + ab^2 + b^3) \end{eqnarray}$ und so weiter. Nur - wenn du den entsprechenden Faktor vor die Determinante ziehst, bleiben immer längere Summen übrig, siehe die Formeln. Bei dem, was ich vorgeschlagen habe, bleibt aber etwas sehr Einfaches übrig.
25.06.2014, 11:47	Vadermond	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vadermonde Determinante berechnen Wenn ich es richtig gemacht habe dann müsste die 4x4 Matrix so aussehen: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix}1 & x_1 & x_1^2 & x_1^3 \\1-x_1 & x_2-x_1^2 & x_2^2-x_1^3 & x_2^3-x_1^4 \\1-x_1 & x_3-x_2x_1 & x_3^2-x_2^2x_1 & x_3^3-x_2^3x_2 \\1-x_1 & x_4-x_xx_1 & x_4^2-x_1x_3^2 & x_4^3-x_3x_1\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Und nun soll der Entwicklungssatz von Laplace angewendet werden? Oh man ... Wenn das geschafft ist für den allgemeinen Fall? Mahalo!
25.06.2014, 19:02	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich habe von Spalten gesprochen, nicht von Zeilen. Man erhält: $\begin{eqnarray} \begin{vmatrix} 1 & x_1 & {x_1}^2 & {x_1}^3 \\ 1 & x_2 & {x_2}^2 & {x_2}^3 \\ 1 & x_3 & {x_3}^2 & {x_3}^3 \\ 1 & x_4 & {x_4}^2 & {x_4}^3 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & x_2 - x_1 & {x_2}^2 - x_1 x_2 & {x_2}^3 - x_1 {x_2}^2 \\ 1 & x_3 - x_1 & {x_3}^2 - x_1 x_3 & {x_3}^3 - x_1 {x_3}^2 \\ 1 & x_4 - x_1 & {x_4}^2 - x_1 x_4 & {x_4}^3 - x_1 {x_4}^2 \end{vmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = \begin{vmatrix} x_2 - x_1 & {x_2}^2 - x_1 x_2 & {x_2}^3 - x_1 {x_2}^2 \\ x_3 - x_1 & {x_3}^2 - x_1 x_3 & {x_3}^3 - x_1 {x_3}^2 \\ x_4 - x_1 & {x_4}^2 - x_1 x_4 & {x_4}^3 - x_1 {x_4}^2 \end{vmatrix} = (x_2 - x_1) (x_3 - x_1) (x_4 - x_1 ) \cdot \begin{vmatrix} 1 & x_2 & {x_2}^2 \\ 1 & x_3 & {x_3}^2 \\ 1 & x_4 & {x_4}^2 \end{vmatrix} \end{eqnarray}$
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25.06.2014, 19:47	Vadermond	Auf diesen Beitrag antworten »
Alles klar, ich habe mich jetzt an den allgemeinen Fall gewagt. $\begin{eqnarray} \begin{vmatrix}1 & x_1 & x_2^2 & ... & x_1^{n-1} \\1 & x_2 & x_2 & ... & x_2^{n-1} \\. & . & . & . & . \\. & . & . & . & . \\1 & x_n & x_n^2 & ... & x_n^{n-1}\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}1 & 0 & 0 & ... & 0 \\1 & x_2-x_1 & x_2^2-x_1x_2 & ... & x_1x_2^{n-1} \\. & . & . & . & . \\. & . & . & . & . \\1 & x_n-x_1 & x_n^2-x_1x_2 & ... & x_n^{n-1} -x_1x_n^{n-1}\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}x_2-x_1& x_2^2-x_1x_2 & ... & x_1x_2^{n-1} \\. & . & . & . \\. & . & . & . \\. & . & . & . \\x_n-x_1& x_n^2-x_1x_n &... & x_n^{n-1}-x_1x_n^{n-1}\end{vmatrix}=(x_2-x_1)(x_3-x_1)\cdot ...\cdot (x_n-x_1)\cdot\begin{vmatrix}<br /> 1& x_2 & ... & x_2^n \\<br /> 1 & x_3 & ... & x_3^n \\<br /> . & ... & ... & . \\<br /> 1& x_n & ... & x_n^n<br /> \end{vmatrix} \end{eqnarray}$ Soll ich jetzt ein weiteres mal den Entwicklungssatz anwenden? Ich meine das kann ich ja bis zum Sankt Nimmerleinstag durchziehen ...
25.06.2014, 22:47	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Da sind bei den Determinanten so viele Fehler, daß man das nicht mehr durchgehen lassen kann, mögen es zum Teil auch Schreibfehler sein: falsche Indizes, falsche Exponenten, unvollständige Terme. Und natürlich sollst du nicht bis zum Sanktnimmerleinstag weitermachen. Wozu haben die Mathematiker die vollständige Induktion erfunden? Am besten gibt man dem Ungeheuer zunächst einen Namen. Die Vandermondsche Determinante der Aufgabe heiße $\begin{eqnarray} V_n(x_1,x_2,\ldots,x_n) \end{eqnarray}$ . Dann gilt in der Tat, jedenfalls, wenn man richtig rechnet: $\begin{eqnarray} V_n(x_1,x_2,\ldots,x_n) = V_{n-1}(x_2,x_3,\ldots,x_n) \cdot \prod_{j=2} (x_j-x_1) \end{eqnarray}$ Und diese Gleichung ist der Schlüssel. Hat man sie erst mal, braucht man keine Determinantenrechnungen mehr. Worauf läuft das am Ende hinaus, wenn man es rekursiv weiterführt? Um die Rekursion korrekt auszuführen, kann es hilfreich sein, im nächsten Schritt vorübergehend $\begin{eqnarray} y_1=x_2,\, y_2=x_3, \, \ldots, \, y_{n-1}=x_n \end{eqnarray}$ zu verwenden.

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