Äquivalente Definitionen einer Operatornorm.

24.06.2014, 21:45	failtrolol	Auf diesen Beitrag antworten »
Äquivalente Definitionen einer Operatornorm. Meine Frage: Hallo zusammen, ich habe derzeit ein gewisses Verständnisproblem bei einem (scheinbar eigentlich leichten Beweis) zur Äquivalenz von Definitionen der Operatornormen. Vorneweg, ich komm mir seit ich studiere ohnehin so vor, als sei ich in der Schule einem Irrtum erlegen, ich wäre tatsächlich gut in Mathe, weswegen ich um Verzeihung bitte, sollte mir was triviales durch die Lappen gegangen sein. Nun zu dem Problem: Sei $\begin{eqnarray} T: V\rightarrow W \end{eqnarray}$ ein linearer, beschränkter Operator und $\begin{eqnarray} V, W \end{eqnarray}$ Banachräume. Zeigen Sie die Äquivalenz der folgenden Definitionen: $\begin{eqnarray} <br /> \sup_{x\in V: \|\|x\|\|_V \leq 1 } \|\|Tx\|\|_W <br /> \sup_{x\in V: \|\|x\|\|_V = 1 } \|\|Tx\|\|_W<br /> \sup_{x\in V: \|\|x\|\|_V \neq 0} \frac{\|\|Tx\|\|_W}{\|\|x\|\|_V}<br /> \inf \left\{c\geq 0: \|\|Tx\|\|_W \leq C \cdot \|\|x\|\|_V \forall x \in V\right\}<br /> \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Bei so etwas scheint es ja üblich das in einer Art Zirkelschluss zu beweisen, d.h. dass man so eine Art Kette von $\begin{eqnarray} \leq \end{eqnarray}$ arbeitet, die man am Ende in $\begin{eqnarray} = \end{eqnarray}$ zwingt. Nur irgendwie springt da bei mir der Funke nicht über. Ich kam mir bei Bearbeitung vor als würde ich da nur irgendwelche Zirkelschlüsse herleiten. Als dann später die Musterlösung präsentiert wurde habe ich es tatsächlich auch nicht verstanden, was mich schon etwas frustriert. Es war z.B. enthalten, dass $\begin{eqnarray} \sup_{x\in V: \|\|x\|\|_V = 1 } \|\|Tx\|\|_W \leq \sup_{x\in V: \|\|x\|\|_V \leq 1 } \|\|Tx\|\|_W \end{eqnarray}$ - das leuchtet mir aber nicht ein, ich hätte gedacht wegen der Linearität müsse dies wenn genau andersherum sein. Ebenso Vergleichbar: Die Umformung der 3. Definition liefert ja $\begin{eqnarray} \sup_{x\in V: \|\|x\|\|_V \neq 0} \|\|T\frac{x}{\|\|x\|\|_V}\|\|_W \end{eqnarray}$ wofür dann <= zur 2. Definition gelten soll. Wieso? Der Vektor $\begin{eqnarray} \frac{x}{\|\|x\|\|_V} \end{eqnarray}$ hat doch immer Norm 1? Ich würde mich über jegliche Hilfe freuen. Ich weiß nicht, wahrscheinlich hab ich nur (wie immer) ein Brett vor'm Kopf, aber sonst verstehe ich wenigstens immer alles sofort sobald ich Lösungen sehe...
25.06.2014, 00:33	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Äquivalente Definitionen einer Operatornorm. Beachte, dass hier $\begin{eqnarray} \sup_{x\in V: \|\|x\|\|_V = 1 } \|\|Tx\|\|_W \leq \sup_{x\in V: \|\|x\|\|_V \leq 1 } \|\|Tx\|\|_W \end{eqnarray}$ auf der linken Seite das Supremum über eine kleinere Menge gebildet wird als auf der rechten Seite. Daraus ergibt sich das $\begin{eqnarray} \leq \end{eqnarray}$ . Zur 2. und 3. Definition: Für $\begin{eqnarray} x\neq 0 \end{eqnarray}$ ist $\begin{eqnarray} \frac{\\|Tx\\|_W}{\|\|x\|\|_V}= \\|T\frac{x}{\|\|x\|\|_V}\\|_W \leq \sup_{x\in V: \|\|x\|\|_V = 1} \\|Tx\\|_W \end{eqnarray}$ Das gilt also auch, wenn du links zum Supremum über alle $\begin{eqnarray} x\neq 0 \end{eqnarray}$ übergehst.

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