Mittelwertsatz

25.06.2014, 08:55

u44tmp

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Mittelwertsatz

Hi! Ich müsste folgende Aufgabe mit dem MWS lösen:

$\begin{eqnarray*} | tan(x)-tan(y) | \geq | x-y | \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x,y \in (-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}) \end{eqnarray*}$

Die Ableitung wäre ja:

$\begin{eqnarray*} | (\frac{1}{cos²x})-(\frac{1}{cos²y}) | = | (tan²x+1)-(tan²y+1)| = | (tan²x -tan²y| \end{eqnarray*}$

Auf der rechten Seite habe ich:

$\begin{eqnarray*} \frac{f(b)-f(a)}{b-a} \end{eqnarray*}$

Wie setze ich konkret die Grenzen ein?

25.06.2014, 09:08

klarsoweit

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RE: Mittelwertsatz
Wozu willst du die Grenzen einsetzen? Und was soll das mit der Ableitung bringen? Vielleicht postest du erstmal die Aussage des MWS.

25.06.2014, 09:25

u44tmp

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Die Definition ist:
Sei f differenzierbar auf dem Intervall und a,b aus I mit a ungleich b, dann existiert ein $\begin{eqnarray*} x_{0} \end{eqnarray*}$ zwischen a und b mit

$\begin{eqnarray*} f'(x_{0}) = \frac{f(b)-f(a)}{b-a} \end{eqnarray*}$

Ich kenne das so:
falls x größer-gleich 0 ist, hat man quasi die linke Grenze.
Auf der linken Seite leitet man ab und rechts setzt man die Grenze (a=0) ein.
Nach Abschätzen der linken Seite (der Ableitung) muss man dann nur noch die Ungleichung umformen.

25.06.2014, 09:30

klarsoweit

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Zitat:

Original von u44tmp
Auf der linken Seite leitet man ab und rechts setzt man die Grenze (a=0) ein.

Ich weiß ja nicht, wie du dir das vorstellst, und da würde ich auch gerne mal ein Beispiel sehen.

Wie dem auch sei: bei dieser Aufgabe mußt du nur die Funktion f geeignet wählen. (Was da paßt, liegt ja quasi auf der Hand.)

25.06.2014, 09:45

u44tmp

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Ok Beispiel wäre folgendes:

Ich habe die Ungleichung $\begin{eqnarray*} ln(2x+1)\leq 2x \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} x \geq 0 \end{eqnarray*}$
Sei f(x) = ln(2x+1) mit a = 0 und x > 0

Das ganze eingesetzt in die Formel des MWS:

$\begin{eqnarray*} \frac{2}{2x_{0}+1 } = \frac{ln(2x+1)-ln(1)}{x} \end{eqnarray*}$

Der ln(1) ist 0

Da $\begin{eqnarray*} x_{0}\geq 0 \end{eqnarray*}$ gilt gilt auf der linken Seite:

$\begin{eqnarray*} 2\geq \frac{2}{2x_{0}+1 } \end{eqnarray*}$

Dann erhalte ich die Ungleichung

$\begin{eqnarray*} 2\geq \frac{ln(2x+1)}{x} \end{eqnarray*}$

Nach Umformen komme ich dann auf die Ursprungsungleichung. Zum Schluss setze ich noch 0 in die obige Ungleichung ein und erhalte ein wahre Aussage für den Fall x=0

25.06.2014, 09:51

u44tmp

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Und so wollte ich das ganze lösen.
In dem Beispiel sind ja die Grenzen [a,unendlich)

a habe ich, also kann ich das einsetzen.
In meiner Aufgabe sind ja beide Grenzen gegeben, weshalb ich die linke Seite der Ungleichung in die MWS Formel eingesetzt und die linke Seite abgeleitet habe. Nun wollte ich a und b einsetzen. Darf ich a=x und b=y annehmen?

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25.06.2014, 10:02

u44tmp

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und muss ich nicht die beiden Fälle betrachten, dass einmal das ganze von der linken Intervallgrenze bis 0 und einmal von 0 bis zu rechten Intervallgrenze geht? Also einmal a=0 setzen und einmal b=0?

25.06.2014, 10:11

klarsoweit

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Zitat:

Original von u44tmp
Das ganze eingesetzt in die Formel des MWS:

$\begin{eqnarray*} \frac{2}{2x_{0}+1 } = \frac{ln(2x+1)-ln(1)}{x} \end{eqnarray*}$

Formal richtig müßte es hier $\begin{eqnarray*} \frac{2}{2x_{0}+1 } = \frac{ln(2b+1) - ln(2a+1)}{b-a} = \frac{ln(2b+1) - ln(1)}{b-0} \end{eqnarray*}$ heißen. Das ändert nicht viel an der weiteren Rechnung, aber man sollte sich wenigstens an die vorgenommenen Bezeichnungen halten.

Das heißt also, wir nehmen diese Formel: $\begin{eqnarray*} f'(x_{0}) = \frac{f(b)-f(a)}{b-a} \end{eqnarray*}$

Und jetzt kümmere dich nicht um a und b, sondern um eine geeignete Funktion f.

25.06.2014, 10:28

u44tmp

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Naja als Funktion f würde ich

|tan(x)-tan(y)| wählen. Richtig? Ich muss ja soweit ich weiß mir eine Seite der Ungleichung herausnehmen. Wenn ich |x-y| wählen würde, hätte ich als Ableitung davon 0, was nicht hinhaut.

25.06.2014, 10:35

klarsoweit

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Die Funktion sollte ja nur eine Funktion in x sein. Und wie willst du |tan(x)-tan(y)| ableiten?

Wie wäre es schlicht mit f(x) = tan(x) ?

25.06.2014, 10:43

u44tmp

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Achso. Ich dachte man muss die komplette Funktion einsetzten. Nun gut dann erhalte ich:

$\begin{eqnarray*} (tan(x))' = \frac{tan(b)-tan(a)}{b-a} \end{eqnarray*}$

und weiter:

$\begin{eqnarray*} tan²+1 = \frac{tan(b)-tan(a)}{b-a} \end{eqnarray*}$

wie fahre ich nun fort und was mache ich mit den Grenzen? Soll man die nun einfach einsetzen?

Muss ich die Betragsstriche nicht eigentlich ebenfalls dazunehmen?

25.06.2014, 10:49

klarsoweit

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Zitat:

Original von u44tmp
und weiter:

$\begin{eqnarray*} tan²+1 = \frac{tan(b)-tan(a)}{b-a} \end{eqnarray*}$

Exakter: $\begin{eqnarray*} tan^2(x_0) + 1 = \frac{tan(b)-tan(a)}{b-a} \end{eqnarray*}$ mit a <= x_0 <= b

Offensichtlich ist $\begin{eqnarray*} tan^2(x_0) + 1 \geq 1 \end{eqnarray*}$ . Du kannst also die linke Seite nach unten durch 1 abschätzen und da beide Seiten positiv sind, die beiden Seiten in Betragsstriche setzen.

25.06.2014, 10:58

u44tmp

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Ok also habe ich folgendes:

$\begin{eqnarray*} 1 \leq |tan²(x_{0})+1| = |\frac{tan(b)-tan(a)}{b-a}| \end{eqnarray*}$

Nun weiß ich aber nicht so recht, was ich mit der rechten Seite machen soll.

Kann ich einfach y=a und x=b ersetzen? Dann hätte ich ja folgendes:

$\begin{eqnarray*} 1 \leq \frac{|tan(x)-tan(y)|}{|x-y|} \end{eqnarray*}$

Wenn ich nun die rechte Seite mit |x-y| multiplizieren, dann komme ich ja auf meine Ausgangsungleichung und dürfte fertig sein, oder?

25.06.2014, 11:16

HAL 9000

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Wenn du exakt vorgehst, dann ist festzustellen, dass du das hier

Zitat:

Original von klarsoweit
Exakter: $\begin{eqnarray*} tan^2(x_0) + 1 = \frac{tan(b)-tan(a)}{b-a} \end{eqnarray*}$ mit a <= x_0 <= b

(zumindest zunächst) nur für $\begin{eqnarray*} a<b \end{eqnarray*}$ hast, während $\begin{eqnarray*} x,y\in \left(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi}{2}\right) \end{eqnarray*}$ beliebig wählbar sind, also sowohl $\begin{eqnarray*} x>y \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} x=y \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} x<y \end{eqnarray*}$ .

Einfach sagen $\begin{eqnarray*} x=a,y=b \end{eqnarray*}$ und zurücklehnen geht in dem Sinne nicht.

25.06.2014, 11:27

klarsoweit

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Zitat:

Original von u44tmp
$\begin{eqnarray*} 1 \leq \frac{|tan(x)-tan(y)|}{|x-y|} \end{eqnarray*}$

Wenn ich nun die rechte Seite mit |x-y| multiplizieren, dann komme ich ja auf meine Ausgangsungleichung und dürfte fertig sein, oder?

Im Prinzip ja. Wegen $\begin{eqnarray*} \frac{|tan(x)-tan(y)|}{|x-y|} = \frac{|tan(y)-tan(x)|}{|y-x|} \end{eqnarray*}$ gilt das sowohl für x > y als auch für x < y.

25.06.2014, 11:29

u44tmp

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Wie würde ich das dann formal korrekt formulieren, dass es als abgeschlossen gilt?

25.06.2014, 11:35

klarsoweit

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Nun ja, du mußt ja nur die Fälle x > y bzw. x < y betrachten und kommst zum gleichen Ergebnis.

25.06.2014, 11:46

u44tmp

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Ok alles klar. Danke! smile

smile

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