Integral Minimum

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25.06.2014, 11:22	Mathe_Saskia	Auf diesen Beitrag antworten »
Integral Minimum Hallo, ich lerne gerade für eine klausur und komme bei dieser Aufgabe nicht weiter: Bestimme die reellen Parameter a und b so, dass $\begin{eqnarray} \int_0^\pi \! (sin(x)-(ax²+bx))² \, dx \end{eqnarray}$ minimal wird. Ich würde jetzt erstmal die Stammfunktion bestimmen, aber wie gehe ich dann weiter vor? Wovon muss ich dann den tiefpunkt, also das minimum bestimmen? Stehe irgendwie auf dem schlauch Vielen Dank schonmal für eure Tipps Saskia
25.06.2014, 13:26	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Das wird monströs, aber es ist zu machen. Nach der Integration und dem Einsetzen der Grenzen musst du den Ausdruck partiell einmal nach a und dann nach b ableiten und jeweils Null setzen ... mY+
25.06.2014, 13:39	Mathe_Saskia	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank Dass das ein ziemlich langer Ausdruck wird, merke ich gerade auch schon^^
25.06.2014, 14:27	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Nun habe ich - als Kontrolle für dich - auch schon mal Teilresultate, bitte ohne Garantie $\begin{eqnarray} \not{a} = \frac{480}{\pi^5}, \ \not{b} = -\frac{240}{\pi^4} \end{eqnarray}$ Fals du nicht dahinkommen solltest, sage ich dir die beiden Gleichungen ... EDIT: Diese Teilresultate stimmten infolge eines RF nicht, sh. nachfolgenden Post. mY+
25.06.2014, 15:04	10001000Nick1	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich komme auf andere Werte: $\begin{eqnarray} a=\frac{20}{\pi^3}-\frac{320}{\pi^5}, b=-\frac{12}{\pi^2}+\frac{240}{\pi^4} \end{eqnarray}$ . WolframAlpha bestätigt mir das.
25.06.2014, 15:10	Mathe_Saskia	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen dank, dass du mir so weiterhilfst. Ich habe jetzt die Stammfunktion bestimmt, könntest du vielleicht mal schauen, ob die so stimmt? $\begin{eqnarray} \frac{1}{5} a^{2}x^{5} + \frac{1}{2}abx^{4} - 2a(-x²cos(x) + 2x sin(x) + 2cos(x))+\frac{1}{3}b^{2}x^{3} - 2b (-xcos(x)+sin(x)) + \frac{1}{2}x - \frac{1}{4}sin(2x) \end{eqnarray}$ Der Ausdruck erscheint mir so unübersichtlich und ich bin mir nicht sicher, ob ich beim partiellen Integrieren alles richtig gemacht habe...
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25.06.2014, 15:13	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Werte von binaryNick bekomme ich auch. Habe die Bestapproximmierende im Polynomraum span(x,x^2) bzgl. L^2-Skalarprodukt auf [0,\pi] gesucht. Das spart einem immerhin die Ableitungen Aber schön ist anders
25.06.2014, 15:56	Mathe_Saskia	Auf diesen Beitrag antworten »
Polynomräume haben wir aber noch nicht behandelt, von daher kann ich deine Argumentation nicht nachvollziehen Trotzdem danke, Kontrollergebnisse habe ich jetzt ja immerhin schonmal Kann mir noch einer sagen, ob meine Stammfunktion überhaupt stimmt?
25.06.2014, 16:07	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
Deine Stammfunktion sieht gut aus. Respekt!
25.06.2014, 16:24	Mathe_Saskia	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke hat mich auch einiges anzeit und vor allem nerven gekostet^^ Wenn ich die Intervallgrenzen einsetze, komme ich dann auf $\begin{eqnarray} \frac{\pi^{5}}{5} a² + 0,5 ab \pi^{4} - 2a(-2+\pi^{2}) + \frac{1}{3}\pi^{3} b² - 2 \pi b + 0,5\pi + 4a \end{eqnarray}$ Und damit auf folgende partielle Ableitungen: $\begin{eqnarray} \pi^{5} a^{4} + 0,5\pi^{4}b - 2(-2+\pi^{2}) + 4<br /> <br /> und<br /> <br /> 0,5\pi^{4}a^{5} + 0,5\pi^{4}b + 8 - 2\pi^{2} \end{eqnarray}$ Stimmen die auch? Ich muss gestehen, meine Konzentration lässt langsam nach, hoffe, ich hab keine blöden Fehler eingebaut. Die muss ich jetzt nur noch gleich 0 setzen und dann nach a bzw b auflösen?
25.06.2014, 17:00	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
Richtig eingesetzt aber die Ableitungen stimmen nicht
25.06.2014, 17:20	Mathe_Saskia	Auf diesen Beitrag antworten »
Ups, da bin ich auf meinem Scmierblatt beim ableiten aber ordentlich verrutscht, peinlich So, jetzt passts hoffentlich: $\begin{eqnarray} \frac{2\pi^{5}}{5}a + \frac{\pi^{4}}{2}b - 2(-2+\pi^{2}) + 4 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \frac{\pi^{4}}{2}a + \frac{2\pi^{3}}{3}b - 2\pi \end{eqnarray}$ Ich probier dann mal, dass noch aufzulösen... Auf jeden Fall aber schonmal vielen dank an euch alle, ihr seid echt toll Und wenn ich die Aufgabe hinbekomme, mache ich mir keine sorgen wegen der Klausur am Montag, weil unsere Lehrerin meinte, wer das schafft, kann die klausuraufgaben locker
26.06.2014, 13:54	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Es passt jetzt so, allerdings dann, wenn du zum Gleichungssystem jeweils noch rechts = 0 dazuschreibst, ansonsten stehen nur irgendwelche Terme da. Es ergeben sich $\begin{eqnarray} a = -\frac{20}{\pi^5}(16-\pi^2) \ \text{und} \ b = \frac{12}{\pi^4}(20-\pi^2) \end{eqnarray}$ Nun muss noch geprüft werden, ob ein Minimum vorliegt. P.S.: Meinen Fehler im Vorpost werde ich korrigieren, dort hatte ich einen Rechenfehler ... mY+

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