Stetigkeit/Supremum über Funktionen

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supernova1604 Auf diesen Beitrag antworten »
Stetigkeit/Supremum über Funktionen
Hallo zusammen,
ich habe gerade Schwierigkeiten mit der folgende Aufgabe:

Ist die Funktion
stetig auf ,

wenn für stetige Funktionen sind?

Ob ich erstmal alles richtig verstanden hab: wir haben also k stetige Funktionen, die an der Stelle einen Wert annehmen. Und davon muss man sup bestimmen. Außerdem wäre das eine Funktion von nach.
Ist das dann nicht das gleiche wie das Maximum zu bestimmen, denn alle Werte werden tatsächlich angenommen. Dann wäre die Funktionen stetig, weil stetig ist.

Oder bin ich ganz falsch verwirrt
Vielen lieben Dank im Voraus!
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

da du dich tatsächlich eher in Richtung "ganz falsch" bewegst, würde ich erstmal die Aufgabe erklären und keine inhaltlichen Tipps geben, damit du dich erstmal mit der richtigen Aufgabe beschäftigen kannst.

Zitat:
wir haben also k stetige Funktionen


Nein, wir haben unendlich viele stetige Funktionen. Für jedes ist eine solche. Du hast also die Funktionen . Deswegen funktioniert auch dein Argument mit dem Maximum nicht, es sind halt mehr als nur endliche viele Funktionen.

Zitat:
Außerdem wäre das eine Funktion von nach.


Nein, es steht doch da, dass die Funktionen alle Definitionsbereich haben. Wie kommst auf diese Einschränkung?
supernova1604 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich meinte die Funktion sup hat diese Definitionsbereich.
Ich hab mich schon einiger Zeit mit der Aufgabe beschäftigt, und wusste dass ich irgendwie Denkfehler habe. Ich weiss aber gerade echt nicht welche der richtige Ansatz ist. Womit soll ich dann anfangen? smile
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Ich hab mich schon einiger Zeit mit der Aufgabe beschäftigt [...] Womit soll ich dann anfangen?


Aber die richtige Aufgabe kennst du doch nun gerade schlappe 15 Minuten. Da kannst du dich doch erstmal noch ein bisschen selbst mit befassen oder?
Anfangen solltest du damit, zu überlegen, ob die Aussage wahr ist oder nicht. Dafür überlegt man sich mal ein paar Funktionenfolgen (auch ausgefallenere), die die Bedingung erfüllen und schaut, ob das Supremum stetig ist. Wenn die Aussage diesen ersten Test besteht, kann man sich überlegen, wie man an einen Beweis herangehen könnte.

Wie gesagt, ich bin der Meinung, du solltest dich erst nochmal selbst mit der Aufgabe beschäftigen, weil du ja die ganze Zeit garnicht die richtige Aufgabe vor dir hattest.
supernova1604 Auf diesen Beitrag antworten »

Man kann natürlich eine solche Funktionenfolge finden, die die Eigenschaften erfüllt aber für das Supremum unstetig ist (wenn z.B. links- und rechtsseitiger Grenzwert nicht übereinstimmen). Ich war mir aber unsicher, ob diese Unstetigkeit von auch Unstetigkeit für die Funktion impiziert. Deswegen habe ich diese Argumentation auf der Seite gelassen. Ich dachte mit muss man Supremum einer Menge bestimmen.
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich glaube, du hast noch nicht richtig verstanden, wie hier das Supremum dieser Funktionen zu verstehen ist.

ist eine neue Funktion von nach . Diese macht folgendes:

Ein beliebiges wird abgebildet auf das Supremum der Menge .

Zitat:
Ich war mir aber unsicher, ob diese Unstetigkeit von auch Unstetigkeit für die Funktion impiziert.


soll ja gerade nicht unstetig sein, denn sonst erfüllt doch die Folge der , die du dir überlegt hast, nicht die Voraussetzungen der Aussage. Insofern hierzu:

Zitat:
Man kann natürlich eine solche Funktionenfolge finden, die die Eigenschaften erfüllt aber für das Supremum unstetig ist


Dann gib doch bitte mal eine an. Dann haben wir die Aufgabe nämlich gelöst Augenzwinkern
 
 
supernova1604 Auf diesen Beitrag antworten »

Ai ai, ich hab verstanden was du mit "ganz falsch" meintest Ups
Ginge das mit


?
Bzw ich hab schon einiges gemacht, aber wollte zuerst fragen ob die Funktion sinnvoll ist.
URL Auf diesen Beitrag antworten »

Die f_k sollen stetig sein, so geht's also nicht
supernova1604 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja irgendwie komme ich mit der Aufgabe nicht so klar.
Vielleicht versuche ich nochmal mit delta-epsylon.
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Deine Idee geht schon in die richtige Richtung. Wir ersetzen in der Behauptung mal Supremum durch Infimum und versuchen dann, deine Folge ein klein wenig zu modifizieren, so dass sie der Aussage widerspricht. (Danach können wir uns dann überlegen, wie wir das Infimum wieder durch Supremum ersetzen können.


Woran geht denn die Stetigkeit deiner kaputt. Wo ist der Knackpunkt, der es ruiniert?


Anmerkung: Es wäre genauso gut möglich, von vornherein die richtige Behauptung zu zeigen, allerdings müsste man dafür deine Folge etwas stärker modifizieren oder gleich eine ganz andere wählen. Ich möchte nicht deine Idee verwerfen, deswegen denke ich, dass dies der bessere Weg ist. Im fertigen Beweis kannst du diesen Zwischenschritt aber natürlich übergehen.
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