Differentialgleichung Mischaufgabe

25.06.2014, 14:54

Scrappy

Differentialgleichung Mischaufgabe

Meine Frage:
Guten Tag,
ich sitze nun schon mehrere Stunden vor dieser Aufgabe, weiss aber nicht wie ich sie genau lösen soll. Dies ist das erste Mal, dass ich eine Diff.-Gleichung aufstellen muss.

Aufgabenstellung:
Ein Wassertank ist mit 1000 Litern Salzwasser (Konzentration 10g/l) gefüllt.
Zur Zeit t=0 werden 2 Leitungen geöffnet: Durch eine Zuleitung fliessen 10l/s Salzwasser mit der Konzentration von 50g/l dazu. Durch eine Ableitung fliessen 10l/s ab.
Die Flüssigkeit wird dauernd gemischt, so dass das Salz immer im ganzen Behälter gleichmässig verteilt ist. Bestimmen Sie die Salzmenge m(t) im Behälter zu einer beliebigen Zeit t.

Meine Ideen:
Durch die gegebenen Informationen ergibt sich ja:

V= 1000l
k_{1}= 10 \frac{g}{l}
Q_{zu}= 10 \frac{l}{s}
k_{zu}= 50 \frac{g}{l}
Q_{ab}= 10 \frac{l}{s}

Wobei k für Konzentration und Q für den Volumenstrom steht.
Das Volumen selbst bleibt ja die ganze Zeit konstant.

Wenn ich die Gleichung in Worten schreibe, sollte sie wie folgt lauten:

Salzmenge = Grundsalzmenge + Zuflusssalzmenge - Abflusssalzmenge

m_{t}= m_{0} + m_{zu} - m_{ab}

wobei sich m_{ab} mit jedem /Delta t zunimmt, bzw. von m_{t} abhängt.

m_{0} setzt sich ja durch V*k_{1} zusammen, was eine Grundsalzmenge von 10?000g ergibt.
m_{zu} ist linear, damit ist m_{zu} = k_{2} * Q_{zu}*t , das macht m_{zu} = 500 \frac{g}{s} *t

Daraus ergibt sich schon Mal:

m_{t}= 10000g + 500 \frac{g}{s} *t - m_{ab}

m_{ab} hängt ja von der aktuellen Salzmenge m_{t} ab und hier beginnt mein Problem.
Wie kann ich dies darstellen? Oder sind meine überlegungen falsch?

Gruss Scrappy

25.06.2014, 15:16

klarsoweit

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RE: Differentialgleichung Mischaufgabe

Zitat:

Original von Scrappy
m_{t}= m_{0} + m_{zu} - m_{ab}

Hier hast du einen Gedankenfehler. Es ist $\begin{eqnarray*} m(t+ \Delta t) = m(t) + m_{zu} - m_{ab} \end{eqnarray*}$ .

Dabei ist der Salzzufluß $\begin{eqnarray*} m_{zu} = 500 \frac g s \cdot \Delta t \end{eqnarray*}$ und der Salzabfluß $\begin{eqnarray*} m_{ab} = \frac{m(t)}{1000 l} \cdot 10 \frac l s \cdot \Delta t \end{eqnarray*}$ .

25.06.2014, 20:27

Scrappy

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Vielen Dank für deine Antwort,

Ich bin davon ausgegangen, dass $\begin{eqnarray*} m_{(t)} \end{eqnarray*}$ konstant ist. Aber es macht Sinn, dass sie sich mit zunehmender Zeit steigert.

Dann ergibt sich ja Folgende Gleichung (Wie du bereits geschrieben hast):

$\begin{eqnarray*} m_{(t+ \Delta t)}= m_{(t)}+500\frac{g}{s}* \Delta t-\frac{m_{(t)}}{100s} * \Delta t \end{eqnarray*}$

Aber ich komme einfach nicht drauf, wie ich nun weitermachen soll.

Gruss

Ps. Nun habe ich es auch mit dem Formeleditor geschafft. Kann aber leider den ersten Beitrag nicht mehr ändern.

26.06.2014, 08:55

klarsoweit

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RE: Differentialgleichung Mischaufgabe

Zitat:

Original von Scrappy
Ich bin davon ausgegangen, dass $\begin{eqnarray*} m_{(t)} \end{eqnarray*}$ konstant ist.

Also deine Aussagen im 1. Post wollen dazu aber nicht passen. Siehe z. B.:

Zitat:

Original von Scrappy
m_{ab} hängt ja von der aktuellen Salzmenge m_{t} ab

Zitat:

Original von Scrappy
Aber ich komme einfach nicht drauf, wie ich nun weitermachen soll.

Bringe in $\begin{eqnarray*} m(t+ \Delta t) = m(t) + 500 \frac{g}{s} \cdot \Delta t - \frac{m(t)}{100s} \cdot \Delta t \end{eqnarray*}$

das m(t) auf die linke Seite, dividiere das ganze durch $\begin{eqnarray*} \Delta t \end{eqnarray*}$ und bilde den Grenzwert für $\begin{eqnarray*} \Delta t \rightarrow 0 \end{eqnarray*}$ . Du bekommst dann (wer hätte es gedacht) eine Differentialgleichung. smile

26.06.2014, 09:09

Scrappy

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Ich habe mir durch die Nacht noch den Kopf darüber zerbrochen und denke, dass ich es jetzt geschafft habe.

$\begin{eqnarray*} m_{t+ \Delta t}= m_{t} + 500*\Delta t - \frac{m}{100} * \Delta t \end{eqnarray*}$

kann man auch schreiben als:
$\begin{eqnarray*} m_{t} + m_{\Delta t}= m_{t} + 500*\Delta t - \frac{m}{100} * \Delta t \end{eqnarray*}$

Dadurch kann man das m_{t} subtrahieren:
$\begin{eqnarray*} m_{\Delta t}= 500*\Delta t - \frac{m}{100} * \Delta t \end{eqnarray*}$

für kleine $\begin{eqnarray*} \Delta t \end{eqnarray*}$ kann man dt schreiben, und daraus folgt, dass $\begin{eqnarray*} m_{\Delta t} \end{eqnarray*}$ dm ist:
$\begin{eqnarray*} dm = dt*(500- \frac{m}{100} ) \end{eqnarray*}$

mit Variablentrennung bekomme ich dann folgendes:
$\begin{eqnarray*} \frac{dm}{500-\frac{m}{100} } =dt \end{eqnarray*}$

Durch Integrieren entsteht daraus:
$\begin{eqnarray*} -100* ln(500-\frac{m}{100 })=t+ c \end{eqnarray*}$

nach m aufgelöst:
$\begin{eqnarray*} m=50000-100*e^{\frac{-t}{100}-\frac{c}{100} } \end{eqnarray*}$

Nun kann man die Anfangsbedingung mit t=0 einsetzen um c zu bestimmen:
$\begin{eqnarray*} c = -200*ln(20) \end{eqnarray*}$

In die Ursprungsgleichung eingesetzt und vereinfach gibt das dann:
$\begin{eqnarray*} m=50000-40000*e^{\frac{-t}{100} } \end{eqnarray*}$

Das Ergebnis ist das Richtige, jedenfalls das vom Dozenten angegebene.
Aber ist mein Lösungsweg auch korrekt?

Gruss

Ps. Entschuldigt mir den Doppelpost

Edit: hatte deinen Post gar nicht gesehen. Denke aber das ich es genau so gemacht habe wie du gesagt hast

26.06.2014, 09:46

klarsoweit

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Zitat:

Original von Scrappy
kann man auch schreiben als:
$\begin{eqnarray*} m_{t} + m_{\Delta t}= m_{t} + 500*\Delta t - \frac{m}{100} * \Delta t \end{eqnarray*}$

Dadurch kann man das m_{t} subtrahieren:
$\begin{eqnarray*} m_{\Delta t}= 500*\Delta t - \frac{m}{100} * \Delta t \end{eqnarray*}$

Ich würde hier mal formale Bedenken anmelden wollen. Was soll denn $\begin{eqnarray*} m_{\Delta t} \end{eqnarray*}$ sein? Drücke das mal verbal aus. Und warum hängst du die Funktionsvariable t als Index an m dran? Für meine Begriffe ist das eher unüblich.

Ich könnte mich eher mit der Schreibweise $\begin{eqnarray*} m(t + \Delta t) = m(t) + (\Delta m)(t) \end{eqnarray*}$ anfreunden. Beim Übergang $\begin{eqnarray*} \Delta t \rightarrow 0 \end{eqnarray*}$ wird dann $\begin{eqnarray*} \Delta t \end{eqnarray*}$ zu dt und $\begin{eqnarray*} \Delta m \end{eqnarray*}$ zu dm.

26.06.2014, 10:40

Scrappy

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Das wäre ja die Salzmenge, die mit jeder Zeiteinheit hinzukommt.

Da hab ich wohl was ähnliches gemeint, nur wie schon gesagt falsch ausgedrückt.

Der Rest sollte aber ok sein?

EDIT: Komplettzitat entfernt (klarsoweit)

26.06.2014, 10:49

klarsoweit

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Da habe ich keine Einwände bzw. Fehler gefunden. Und das Ergebnis stimmt ja auch mit dem vom Dozenten überein. Vielleicht sollte man die Zahlenwerte noch mit physikalischen Einheiten versehen. smile

26.06.2014, 10:52

Scrappy

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Dann bedanke ich mich vielmals für deine Hilfe Freude

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