Haupträume bestimmen

25.06.2014, 17:19

Mimi25

Haupträume bestimmen

Meine Frage:
Hallo ihr Lieben,

ich habe hier eine Aufgabe mit Lösung aber ich verstehe nicht wie man auf diese Werte kommt und wie man überhaupt bei solche einer Aufgabe vorgeht.

Aufgabe: A= $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ Berechnen Sie die Eigenwerte von A und die dazugehörigen Haupträume.

Meine Ideen:
Die Eigenwerte zu bestimmen ist ganz einfach.
Charackteristisches Polynom= PA(X)= (X-1)^2(X-3) also sind die Eigenwerte 1 und 3. Ich weiß auch das man die Einheitsmatrix mit A subrahiert aber wie man genau vorgeht weiß ich leider nicht. unglücklich

Könnt ihr mir bitte helfen?!

25.06.2014, 21:32

bijektion

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Also ist $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ ein Eigenwert. Dann betrachte doch mal $\begin{eqnarray*} kern(A-E_3) \end{eqnarray*}$ smile

25.06.2014, 22:50

Mimi25

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Das heißt doch, dass ich $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ - $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ dann würde ich auf dieses Ergebnis kommen = $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ Stimmt das? verwirrt

27.06.2014, 09:35

bijektion

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Das sollte so stimmen. Welche Dimension hat der Kern jetzt?

27.06.2014, 14:27

Mimi25

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Die Dimension wäre dann zwei. smile

27.06.2014, 15:32

bijektion

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Warum $\begin{eqnarray*} 2 \end{eqnarray*}$ ? Es ist doch $\begin{eqnarray*} kern \begin{pmatrix} 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}=\left\{(x_1,x_2,x_3)\in\mathbb{R}^3 |x_2=x_3=0\right\} \end{eqnarray*}$ .
Da $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ zweifache Nullstelle ist, aber $\begin{eqnarray*} \dim V_1 =1 \end{eqnarray*}$ , musst du $\begin{eqnarray*} V_1^{(2)}=kern\begin{pmatrix} 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}^2 \end{eqnarray*}$ berechnen smile

27.06.2014, 16:23

Mimi25

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Sorry mein Fehler, hab total vergessen das es eine doppelte Nullstelle ist. geschockt

Also wenn ich die Matrix potenziere komme ich auf diese Matrix
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ . Dann krieg ich aber als Ergebnis einen Nullvektor oder?

27.06.2014, 16:45

bijektion

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Nein, es ist $\begin{eqnarray*} kern\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 4 \end{pmatrix} =\left\{(x_1,x_2,x_3)\in\mathbb{R}^3|x_3=0\right\} \end{eqnarray*}$ .
Jetzt kannst du ja nachrechnen, dass $\begin{eqnarray*} \dim V_1^{(2)}=\dim V_1^{(\nu)} \end{eqnarray*}$ für alle natürlichen $\begin{eqnarray*} \nu \geq 2 \end{eqnarray*}$ .

27.06.2014, 18:00

Mimi25

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Sorry, ist stehe total auf dem schlauch und bin deshalb verwirrt.

Ich hab hier die Lösung dieser Aufgabe:
$\begin{eqnarray*} Eig_{1}=Kern(1E-A) \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} Kern\begin{pmatrix} 0 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} Lin\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ,

$\begin{eqnarray*} Eig_{2}(A,1)=Kern((1E-A)^{2}) Kern\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 9 \end{pmatrix}= Lin(\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ,

$\begin{eqnarray*} Eig_{3}(A,1)=Kern((0E-A)^{3}) Kern\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -27 \end{pmatrix}= Lin(\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Ich komme absolut nicht auf diese Werte und ich hab im internet gesucht wie ich da voran gehe aber da ist nichts. traurig

Ich verstehe auch nicht wie ich da weiter rechnen soll. Soll ich den Eigenvektor bestimmen oder die Matrix auf Zeilenstufenform bringen (was sie ja schon ist) oder den Eigenraum Forum Kloppe

Ich berechne den Hauptraum das erstemal und würde das gern verstehen aber ich versteh es einfach nicht... "verzweifelt"

29.06.2014, 13:08

bijektion

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Die Lösung passt nicht, denn $\begin{eqnarray*} E_3-A=\begin{pmatrix} 0 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .
Das ändert aber nichts daran, dass $\begin{eqnarray*} Eig_1=V_1^{(1)}=Lin\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = \left\{(x_1,x_2,x_3)\in\mathbb{R}^3 |x_2=x_3=0\right\} \end{eqnarray*}$ .
Für $\begin{eqnarray*} Eig_2=V_1^{(2)} \end{eqnarray*}$ gilt das gleiche.

Zitat:

Ich verstehe auch nicht wie ich da weiter rechnen soll. Soll ich den Eigenvektor bestimmen oder die Matrix auf Zeilenstufenform bringen (was sie ja schon ist) oder den Eigenraum Forum Kloppe

Dein Problem liegt darin, das du nicht weißt, wie $\begin{eqnarray*} kern(M) \end{eqnarray*}$ für eine Matrix $\begin{eqnarray*} M\in M_{n\times n}(\mathbb{R}) \end{eqnarray*}$ zu bestimmen ist?
Das ist gerade der Vektorraum aller $\begin{eqnarray*} x\in\mathbb{R}^n \end{eqnarray*}$ für die $\begin{eqnarray*} M\cdot x = 0 \in\mathbb{R}^n \end{eqnarray*}$ gilt.

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