Beweisidee gefragt

25.06.2014, 18:39

Daifus

Beweisidee gefragt

Hallöchen,

mir fiel auf, dass bei geraden Zahlen n größer 12, $\begin{eqnarray*} \frac{n}{2} - 2 \end{eqnarray*}$ niemals Teiler von n ist. Warum ist das so? Wär echt nett, wenn jemand mir das beantworten könnte.

Danke

25.06.2014, 18:44

Iorek

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Als analytische Herangehensweise: betrachte mal die Funktion $\begin{eqnarray*} f:\mathbb \{x\in\mathbb R~|~x>4\}\rightarrow \mathbb R,x\mapsto \frac{x}{\frac x2-2} \end{eqnarray*}$ . Mit einer Monotonie- und Grenzwertuntersuchung sowie dem Funktionswert $\begin{eqnarray*} f(12) \end{eqnarray*}$ ist das recht leicht zu zeigen.

Nachtrag: der Definitionsbereich sollte natürlich abgeändert werden. $\begin{eqnarray*} \mathbb R_+^* \end{eqnarray*}$ ist problematisch.

25.06.2014, 20:25

Daifus

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Danke für die Antwort, aber ich verstehe nicht, was mir die Funktion bringt, denn wie komme ich denn letzten Endes darauf, dass für alle geraden n > 12 die Zahl $\begin{eqnarray*} \frac{n}{2} - 2 \end{eqnarray*}$ kein Teiler ist?

25.06.2014, 20:28

Iorek

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Wie ist die Funktion denn gerade konstruiert? Angenommen es würde noch eine weitere Zahl $\begin{eqnarray*} n>12 \end{eqnarray*}$ mit dieser gewünschten Eigenschaft existieren, was gilt dann für den Quotienten?

Zitat:

Original von Iorek
Mit einer Monotonie- und Grenzwertuntersuchung sowie dem Funktionswert $\begin{eqnarray*} f(12) \end{eqnarray*}$ ist das recht leicht zu zeigen.

Hast du diese durchgeführt?

25.06.2014, 21:27

Daifus

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Aso gut, danke dir mit der Monotonie, jedoch scheitere ich gerade an der Grenzwertuntersuchung. Könntest du mir da behilflich sein bitte?

25.06.2014, 21:36

Iorek

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Wie hast du denn für den Grenzwert angesetzt? Hierbei sollte es sich eigentlich um einen Standardgrenzwert bzw. ein Standardvorgehen handeln: $\begin{eqnarray*} \lim\limits_{x\to\infty} \frac {x}{\frac x2-2}=\lim\limits_{x\to\infty} \frac x{\frac 12x-2}=\dots \end{eqnarray*}$
Im nächsten Schritt die höchste vorkommende Potenz ausklammern und auf bekannte Grenzwerte zurückführen.