Diff'b.keit partieller Ableitungen

Neue Frage »

ann1 Auf diesen Beitrag antworten »
Diff'b.keit partieller Ableitungen
Es gilt ja:

Ist eine part. Ableitg. stetig, so ist diese auch diff'bar.


Im eindimensionalen Fall reicht Stetigkeit jedoch nicht aus, siehe Betragsfunktion. Es muss also zusätzlich der Differentialquotient existieren, der die Ableitung darstellt. Salopp: f ist ableitbar, wenn die Ableitung existiert.

Fragen:
Gibt es denn bzgl. des mehrdimensionalen Falls
ein Äquivalent zur Notwendigkeit der Existenz des Differentialquotienten im eindim. Fall?
Oder sagt man einfach auch:
f ist ableitbar, wenn die Ableitung existiert.
Im mehrdimensionalen Fall fehlt mir da irgendwas, wenngleich mir bei meinen Formulierungen auffällt, dass es mglw. ein Phantomproblem ist.

Vlt. kann mir jmd. etwas erläutern.

PS:
kann in einer partiellen Ableitung ein Betrag auftauchen, was dann die Untersuchung per Differentialquotient nötig machen würde?
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

Zitat:
Ist eine part. Ableitg. stetig, so ist diese auch diff'bar.

Nein!

Du widersprichst dir doch auch im nächsten Satz selbst. Der eindimensionale Fall ist doch bloß ein Spezialfall des mehrdimensionalen Falls. Dinge, die schon im Speziellen falsch sind, sind erst Recht im Allgemeinen falsch.

Ich bin mir also nicht ganz sicher, was du meinst. Was du oben schreibst, stimmt auf jedenfall nicht.

Was man machen kann, ist zu sagen:

Eine Funktion ist (sogar stetig) differenzierbar in , wenn es eine Umgebung von gibt, sodass in alle partiellen Ableitungen existieren und in stetig sind.

Das sagt aber nichts darüber aus, ob die partiellen Ableitungen dann auch selbst diffbar sind oder nicht.
ann1 Auf diesen Beitrag antworten »

ich meinte etwas ganz anderes - und hätte dies auch schreiben sollen:

Sind ALLE partiellen Ableitungen von f stetig in einem Pkt a, so ist f total diff'bar in a.

__

Warum braucht man eigentlich den Umgebungsbegriff?
ann1 Auf diesen Beitrag antworten »

Kann ich sagen: (?)

in meiner Fktn f: R^n->R^m

existieren alle partiellen Ableitungen in a.
Wenn diese stetig sind in a (btw: können die part. Abl. in a existieren, ohne in a stetig zu sein?),
dann existiert automatisch der Differentialquotient

und damit ist f in a total diff'bar?
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Du brauchst, dass die partiellen Ableitungen in einer Umgebung um a existieren um von Stetigkeit in a sprechen zu können. Wenn die Ableitungen nur in selbst existieren, macht es überhaupt keinen Sinn, dort von Stetigkeit zu sprechen.

Deine folgenden Fragen dürften sich damit erübrigen.

Zitat:
ich meinte etwas ganz anderes - und hätte dies auch schreiben sollen:


Ja.. Mathematik erfordert Exaktheit. Mit Halbwissen kann man nichts anfangen.
Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen

Die Beliebtesten »
Die Größten »
Die Neuesten »