Lineare Abhängigkeit/Unabhängigkeit

26.06.2014, 17:29

Bonheur

Lineare Abhängigkeit/Unabhängigkeit

Gegeben sind folgende Vektoren: Sind die Vektoren linear abhängig ?

$\begin{eqnarray*} e : = \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f : = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ -3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} g : = \begin{pmatrix} -1 \\ -2 \\ 7 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Ideen:

$\begin{eqnarray*} \lambda_1 \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix}+ \lambda_2 \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ -3 \end{pmatrix} + \lambda_3 \begin{pmatrix} -1 \\ -2 \\ 7 \end{pmatrix}=\overrightarrow{0} \end{eqnarray*}$

Folgendes Gleichungssystem ensteht:

$\begin{eqnarray*} I: 3\lambda_1 +2 \lambda_2-\lambda_3=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} II: -2\lambda_1 -2\lambda_3=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} III: \lambda_1 -3 \lambda_2+7\lambda_3=0 \end{eqnarray*}$

Gaußsche Eliminationsverfahren:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 3 & 2 & -1 \\ -2 & 0 & -2 \\ 1 & -3 & 7 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

1: Vertausche die zweite Zeile mit der dritten Zeile:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 3 & 2 & -1 \\ 1 & -3 & 7 \\ -2 & 0 & -2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

2: Berechnung der Null in der 2. Zeile (1. Spalte).

2a) Dafür multiplizieren wir die zweite Zeile mit dem Faktor 3.

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 3 & 2 & -1 \\ 3 & -9 & 21 \\ -2 & 0 & -2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

2b) Subtraktion: Zweite Zeile - Erste Zeile:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 3 & 2 & -1 \\ 0 & -11 & 22 \\ -2 & 0 & -2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

3: Berechnung der Null in der 3. Zeile (2. Spalte).

3a) Multiplikation: 1. Zeile mit dem Faktor 2 und 3. Zeile mit dem Faktor 3.

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 6 & 4 & -2 \\ 0 & -11 & 22 \\ -6 & 0 & -6 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

3b) Addition: 3.Zeile und die 1.Zeile

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 6 & 4 & -2 \\ 0 & -11 & 22 \\ 0 & 4 & -8 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Nun zu meinem Problem:

Ich komme die ganze Zeit in eine Sackgasse.
Es ist quasi unmöglich, auf eine Treppenform, von Nullen zu kommen. Es ist zu vergleichen mit einer Kettenreaktion. Big Laugh

Vielen Dank.

26.06.2014, 17:34

Incognita

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Hallo Bonheur smile

Wie erzeugst du die "Kettenreaktion"?

Bis jetzt ist alles in Ordnung.

26.06.2014, 17:41

Bonheur

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Hey Incognita. Wink

Die dritte Zeile macht mir ein wenig zu Schaffen, weil ich nicht weiß, wie man diese vier los bekommt, ohne dabei eine null in der zweiten Zeile (1.Spalte), sowie dritte Zeile (1.Spalte) mit einer anderen Zahl zu ersetzen.
Deshalb laufe ich die ganze Zeit in einem Kreis herum. Big Laugh

26.06.2014, 17:48

Incognita

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Gauß-Verfahren:
1. Schritt: erzeuge in der ersten Spalte unterhalb der ersten Zeile lauter Nullen, üblicherweise mithilfe der ersten Zeile.
2. Schritt: erzeuge in der zweiten Spalte unterhalb der zweiten Zeile lauter Nullen, üblicherweise mithilfe der zweiten Zeile.
3. Schritt ...

Wenn du im zweiten Schritt mit der ersten Zeile arbeitest, zerstörst du die erste Spalte wieder.
Habt ihr das Gauß-Verfahren schon systematisch kennengelernt?

Edit: Rechtschreibung

26.06.2014, 18:05

Bonheur

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Leider nicht. smile

Aber: Dank deiner Erklärung habe ich eine Möglichkeit gefunden, wie man diese "Kettenreaktion" löst. Big Laugh

Zitat:

Original von Bonheur
3b) Addition: 3.Zeile und die 1.Zeile

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 6 & 4 & -2 \\ 0 & -11 & 22 \\ 0 & 4 & -8 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Von dem Punkt ausgehend:

4: Die dritte Zeile mit dem Faktor 2.75 multiplizieren:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 6 & 4 & -2 \\ 0 & -11 & 22 \\ 0 & 11 & -22 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

5: Addition: 3.Zeile und 2.Zeile

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 6 & 4 & -2 \\ 0 & -11 & 22 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Ist das so richtig ?

26.06.2014, 18:13

Incognita

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Ja, das stimmt. Freude

Es ist übrigens sehr sinnvoll, sich zunächst mit dem Gauß-Verfahren zu beschäftigen - es ist die Technik zum Lösen von Aufgaben in der Analytischen Geometrie überhaupt, wenn der CAS-Rechner einem nicht jegliche Arbeit abnimmt.

Ein systematischer Gauß hätte dir viele Rechenschritte erspart.

26.06.2014, 18:17

Bonheur

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Alles klar, werde ich tun. Vor allem muss ich mir die unterschiedlichen Fälle ansehen.

Die Vektoren sind linear abhängig.

Vielen Dank für alles. Freude

26.06.2014, 18:20

Incognita

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Anschauliche Deutung ist richtig. smile

Gern geschehen.

Wink

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