Epsilon Delta Kriterium

26.06.2014, 18:09

edi

Epsilon Delta Kriterium

Meine Frage:
Es seien $\begin{eqnarray*} D \subseteq \mathbb R \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f: D \Rightarrow \mathbb R \end{eqnarray*}$ eine im Punkt $\begin{eqnarray*} x_{0} \in D \end{eqnarray*}$ stetige Funktion. Ferner Sei $\begin{eqnarray*} f(x_{0})>0 \end{eqnarray*}$ . Zeigen Sie, dass dann $\begin{eqnarray*} \epsilon > 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \delta > 0 \end{eqnarray*}$ existieren mit der Eigenschaft

$\begin{eqnarray*} f(x)\geq \epsilon > 0 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} x \in D \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} | x - x_{0} | < \delta \end{eqnarray*}$

d.h. f ist in einer Umgebung von $\begin{eqnarray*} x_{0} \end{eqnarray*}$ von 0 weg beschränkt und insbesondere positiv.

Meine Ideen:
Ich habe leider keine Idee wie ich damit anfangen kann. Ein Ansatz wäre sehr hilfreich, danke.

Mfg edi

26.06.2014, 18:28

Guppi12

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Schau dir mal mal an, was dir das Epsilon Delta Kriterium der Stetigkeit mit $\begin{eqnarray*} \epsilon := \frac{f(x_0)}{2} > 0 \end{eqnarray*}$ liefert.

Edit: du solltest dir zur Situation auch mal eine Zeichnung machen.

26.06.2014, 19:27

edi

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Nach der Definition der Stetigkeit kann ich dann folgendes sagen:

zu jedem $\begin{eqnarray*} \epsilon = \frac{f(x)}{2} \end{eqnarray*}$ gibt es ein $\begin{eqnarray*} \delta(\epsilon , x_{0})>0 \end{eqnarray*}$ mit der Eigenschaft

$\begin{eqnarray*} | f(x) - f(x_{0}) | < \frac{f(x_{0})}{2} \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} x \in D \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} x-x_{0} < \delta(\epsilon, x_{0}) \end{eqnarray*}$

komme leider nicht weiter.

27.06.2014, 17:33

Guppi12

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Zitat:

zu jedem $\begin{eqnarray*} \epsilon = \frac{f(x)}{2} \end{eqnarray*}$ gibt

Das macht irgendwie nicht so viel Sinn. Zu jedem $\begin{eqnarray*} \epsilon > 0 \end{eqnarray*}$ gibt es blablabla. Das ist ok.

Oder auch: Zu $\begin{eqnarray*} \epsilon = \frac{f(x)}{2} \end{eqnarray*}$ gibt es blablabla wäre ok.

Deine Kombination ist irgendwie unsinnig. Außerdem wollten wir doch $\begin{eqnarray*} \epsilon = \frac{f(x_0)}{2} \end{eqnarray*}$ , nicht $\begin{eqnarray*} \epsilon = \frac{f(x)}{2} \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

$\begin{eqnarray*} | f(x) - f(x_{0}) | < \frac{f(x_{0})}{2} \end{eqnarray*}$

.

Kannst du da nicht noch etwas draus folgern? Und hast du dir eine Skizze gemacht?

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