Infimum bestimmen

27.06.2014, 16:57

Mathelover

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Infimum bestimmen

Hallo liebe Boardies,

ich soll das Infimum von der Funktion

$\begin{eqnarray*} p : \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} p(x) := - \frac{1+4x_{1}^{2}}{1+x_{1}^{2}} + x_{2} \end{eqnarray*}$

auf der Menge

$\begin{eqnarray*} D =\left \{ x \in \mathbb{R}^2 | x_{1} \geq 1, x_{2} > 0\right \} \end{eqnarray*}$

bestimmen.

Meine Idee:

Wenn ich mir die Menge D anschaue, dann seh ich dass x1 den Wert 1 annehmen darf.
D.h. ich könnte p nach unten für x1=1 abschätzen.
Dann erhalte ich:

$\begin{eqnarray*} - \frac{1+4x_{1}^{2}}{1+x_{1}^{2}} + x_{2} \geq - \frac{5}{2} + x_{2} \end{eqnarray*}$

Jetzt kann ich noch x2 gegen 0 (siehe Menge D) laufen lassen.

dann erhalte ich letztendlich für das Infimum:

-5/2

Die Musterlösung sagt aber, dass das Infimum = -4 ist.

Was mache ich falsch?

27.06.2014, 17:06

Mulder

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RE: Infimum bestimmen
Deine "Abschätzung" ist etwas eigenartig. So ganz kann ich deinen Gedankengängen da nicht folgen. Haut jedenfalls nicht hin. Setz z.B. mal 2 ein, dann siehst du es.

Darf ich dir vielleicht folgendes nahelegen?

$\begin{eqnarray*} - \frac{1+4x^2}{1+x^2} = - \frac{4+4x^2-3}{1+x^2} \end{eqnarray*}$

Bruch auseinanderziehen und dann schau mal, was sich ergibt.

27.06.2014, 17:09

Mathelover

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RE: Infimum bestimmen
Für den x1 koordinate ist ja der Wert 1 erlaubt.
x1 kann also minimal 1 werden und nicht kleiner.
Dann darf ich doch meine Funktion nach unten mit 1 für x1 abschätzen. Oder nicht?
Kannst du mich mal bitte aufklären, dass weg von diesem falschen Gedanken komme?

27.06.2014, 17:17

Mulder

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RE: Infimum bestimmen
Aber dass x1 größergleich 1 sein muss, bedeutet doch nicht, dass die Funktion auch wirklich für x1=1 minimal wird. Da müsste man sich erstmal darüber Gedanken machen, wie sich die Funktion verhält (ist sie monoton steigend oder fallend z.B., dann kann man solche Aussagen treffen).

Hier ist durchaus der Fall, dass die Funktion (wenn wir x2 jetzt mal ganz aus dem Spiel lassen, aber das macht uns ja auch keine Probleme, das lassen wir gegen 0 laufen) streng monoton fällt. Was bedeutet, dass du mit dem Einsetzen von x1=1 ganz gegensätzlich zur eigentlichen Aufgabe das Supremum aufgespürt hast. Beachte, dass da vorne noch ein Minuszeichen steht. Dadurch drehen sich die größer/kleinergleich-Zeichen ja um. Es gilt also wenn dann

$\begin{eqnarray*} - \frac{1+4x_{1}^{2}}{1+x_{1}^{2}} + x_{2} \color{red} \leq \color{black}- \frac{5}{2} + x_{2} \end{eqnarray*}$

Bloß ist das nicht das, was uns grade interessiert.

27.06.2014, 17:22

Mathelover

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RE: Infimum bestimmen
Habe mir grad ein Bild gemalt, mit einer streng monoton fallenden Funktion f(x) = -x.
Und tatsächlich in diesem Fall wäre das das Supremum...

Und wie komme ich an das Infimum?
Intuitiv würde ich sagen, dass ich x1 gegen unendlich laufen lassen muss, um bei diese Funktion ( die streng monoton fallend ist) das Infiumum zu bekommen. Das zerstört mir aber meinen ganzen Term...

27.06.2014, 17:25

Mulder

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RE: Infimum bestimmen

Zitat:

Original von Mathelover
Und wie komme ich an das Infimum?

Indem du z.B. das hier vielleicht mal zur Kenntnis nimmst:

Zitat:

Original von Mulder
Darf ich dir vielleicht folgendes nahelegen?

$\begin{eqnarray*} - \frac{1+4x^2}{1+x^2} = - \frac{4+4x^2-3}{1+x^2} \end{eqnarray*}$

Bruch auseinanderziehen und dann schau mal, was sich ergibt.

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27.06.2014, 17:45

Mathelover

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RE: Infimum bestimmen
dann erhalte ich

$\begin{eqnarray*} - \frac{1+4x_{1}^{2}}{1+x_{1}^{2}} + x_{2}^{2} = - \frac{4+4x_{1}^{2}-3}{1+x_{1}^{2}} + x_{2}^{2} = -\frac{4}{1+x_{1}^{2}} -\frac{4x_{1}^{2}}{1+x_{1}^{2}} + \frac{3}{1+x_{1}^{2}} + x_{2}^{2} \end{eqnarray*}$

27.06.2014, 18:07

Mathelover

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RE: Infimum bestimmen
Ich kann soweit umformen:

$\begin{eqnarray*} -\frac{4}{\frac{1}{x_{1}^{2}}+1} + \frac{3}{1+x_{1}^{2}} + x_{2}^{2} = -4 + \frac{3}{1+x_{1}^{2}} + x_{2}^{2} \end{eqnarray*}$

Wenn jetzt x1 gegen unendlich geht und x2 gegen 0, bleibt nur noch -4 übrig. D.h. die Funktion ist streng monoton fallen und für große x1 geht sie gegen -4. Muss ich den Fall für große x2 nicht betrachten?

27.06.2014, 18:13

Mulder

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RE: Infimum bestimmen
unglücklich

unglücklich

$\begin{eqnarray*} - \frac{1+4x^2}{1+x^2} = - \frac{4+4x^2-3}{1+x^2} = - \frac{4+4x^2}{1+x^2} + \frac{3}{1+x^2} = -4 + \frac{3}{1+x^2} \end{eqnarray*}$

Letztlich reine Polynomdivision zur Ermittlung einer waagerechten Asymptote. Schulmathematik in Reinkultur.

27.06.2014, 18:13

Mathelover

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RE: Infimum bestimmen
haha, darauf bin ich grad eben auch gekommen Big Laugh

Big Laugh

27.06.2014, 18:29

Mulder

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RE: Infimum bestimmen

Zitat:

Original von Mathelover
Muss ich den Fall für große x2 nicht betrachten?

Ich weiß nicht, wie du das meinst. Wir suchen das Infimum. Da gucken wir, wie "klein" die Funktion mit geeigneten x1, x2 werden kann. x2 "groß" anzusetzen ist da kontraproduktiv (und das ist auch kein separater "Fall"), wie man der Funktionsvorschrift entnehmen kann.

27.06.2014, 22:54

Mathelover

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Alles klar, danke mulder. Habe es jetzt verstanden.

Eine Frage hätte ich aber noch. Du hast vorhin den Begriff Polynomdivision an dieser Stelle erwähnt.

Wo haben wir denn Polynomdivision angewendet? Wir haben den Bruch doch nur "anderst/geschickt" aufgeschrieben um das Infimum ermitteln zu können.

Vielmehr würde es mich interessieren, wie du auf den Gedanken gekommen bist die 1 mit 4-3 umzuschreiben?
Geschultes Auge, oder richtige Denkweise?

Wenns die richtige Denkweise ist, dann erkläre mir bitte wie man richtig denkt an dieser Stelle.

28.06.2014, 10:42

Mulder

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RE: Infimum bestimmen
$\begin{eqnarray*} - \frac{1+4x^2}{1+x^2} = - \frac{4+4x^2-3}{1+x^2} = - \frac{4+4x^2}{1+x^2} + \frac{3}{1+x^2} = -4 + \frac{3}{1+x^2} \end{eqnarray*}$

Dieser Rechenvorgang ist einfach Polynomdivision. Ich hab hier jetzt einfach die 1 im Zähler umgeschrieben zu 4-3, damit ich den Bruch dann leicht auseinanderziehen konnte. Deswegen sieht das von der Rechnung her etwas anders aus. Aber im Grunde passiert da rechnerisch genau dasselbe wie bei einer Polynomdivision.

Die richtige Denkweise wäre hier gewesen: "Ich habe hier einen Bruch mit Zählergrad größergleich Nennergrad, also mach ich einfach mal eine Polynomdivision und schau mal". Die Funktion ist ja auf dem von uns betrachteten Definitionsbereich streng monoton fallend (wenn wir das x2 wieder gänzlich rauslassen), damit sie ein etwaiges Infimum haben kann, muss sie also eine waagerechte Asymptote besitzen. Und die ermittelt man dann eben durch Polynomdivision. Genau wie in der Schule damals auch, da hat man sowas ja rauf und runter gerechnet.

28.06.2014, 11:26

Mathelover

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RE: Infimum bestimmen
Okay aber wie kommst du auf 4-3. Ich könnte ja auch 82-81 schreiben. Warum ausgerechnet 4-3, wie kommt auf den Gedanken die 1 ausgerechnet so umzuschreiben. Das möchte ich gerne wissen.

28.06.2014, 11:33

Mulder

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RE: Infimum bestimmen
Die 4 deshalb, um es dem Vorfaktor 4 vor dem x² im Zähler anzugleichen, damit man eben beim Auseinanderziehen aus dem einen Term eine -4 machen kann. Das hab ich gemacht, weil's funktioniert. Das nenn meinetwegen "geschultes Auge". Die 3 ist dann eben das, was übrig bleibt, um den Term nicht zu verändern.

28.06.2014, 11:37

Mathelover

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RE: Infimum bestimmen
Okay perfekt, also du änderst die 1 so um, dass du am Ende bei der Polynomdivision etwas schönes rausbekommst. Dazu achtest du beim Umformen auf die Vorfaktoren?

28.06.2014, 12:18

Mulder

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RE: Infimum bestimmen
Ja, so wirklich zu Ergänzen weiß ich da auch nichts mehr. Wie gesagt, entweder man sieht sowas, oder halt nicht (dann kommt das mit der Zeit bei dir noch). Irgendwann macht man sowas ganz automatisch. Und wenn nicht, macht man halt wie gesagt einfach Polynomdivision. Da braucht man dann auch kein "geschultes Auge", das rechnet man einfach runter. Ich würde mich jetzt auch nicht zu lange mit solchen Spielereien aufhalten.

29.06.2014, 16:08

Mathelover

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RE: Infimum bestimmen
Alles klar Mulder,
ich danke dir vielmals smile

smile

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