Kurvenintegral, Weg am Kegel

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27.06.2014, 22:06	DeltaX	Auf diesen Beitrag antworten »
Kurvenintegral, Weg am Kegel Hallo und guten Abend! Ich sitze gerade mal wieder an den Wochenaufgaben, und bin auch relativ weit, aber diese hier musste ich überspringen, weil ich die Initialaufgabe nicht verstanden habe: Wir befassen uns gerade mit Kurvenintegralen, hier speziell im R³: Uns sei folgender Weg mit bekanntem b>0 gegeben: $\begin{eqnarray} \vec w (t)= (t cos t, t sin t, 2t)^T, \qquad \vec w: [0,b]\rightarrow \mathbb R^3 \end{eqnarray}$ Bis dahin ist das Verständnis ja da, ich war sogar sehr erfreut, dass ich mir nicht selbst eine Parametrisierung ausdenken muss, aber ab dem Folgenden hörts auf: Bestimmen Sie $\begin{eqnarray} a,b,c>0 \end{eqnarray}$ so, dass der Weg $\begin{eqnarray} \vec w \end{eqnarray}$ auf einem Kegel im R³ verläuft, der durch folgende Gleichung beschrieben wird: $\begin{eqnarray} ax^2+by^2-cz^2=0 \end{eqnarray}$ Ich bin mir hier leicht unsicher... M.E. ist es mit den gegebenen Informationen nicht wirklich möglich, algebraisch auf a,b,c zu kommen, da es zu viele Unbekannte mit zu wenigen Infos gibt. Andererseits kann es auch sein, dass ich einfach unterschwellige Informationen übersehe. Andere Idee, die - so habe ich gehört - auch gerne mal vorkommt ist, dass man probieren soll, um sich im späteren ein besseres Bild zu machen; dann hat man meist immer "etwas vor Augen". Aber ich find' Raten ziemlich unmathematisch, außer bei Nullstellen von Polynomen mit Grad >3. Habt ihr einen Tipp für mich? Bitte aber wirklich nur ein Tipp erstmal, angesichts der Tatsache, dass bald Klausuren kommen und da natürlich Eigenleistung zählt. Dankeschön!
27.06.2014, 22:45	Cevas	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kurvenintegral, Weg am Kegel Ich habe ein Bisschen gerechnet ich kriege a=4 und b=4 ...zum Beispiel!! Du sollst bedenken, dass zu jeden Wert von t, den du auswälst, einen Punkt aus der Kurve bekommst. Du kannst soviele Gleichungen erzeugen wie du willst!!
27.06.2014, 23:15	DeltaX	Auf diesen Beitrag antworten »
Hey, wow danke Das stimmt, ich gehe w ja ab. Oh man, peinlich. Naja ich mache morgen weiter Ich hoffe ab hier läufts dann Gute Nacht!
28.06.2014, 17:07	MannyC	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich hoffe das ich nicht störe würde aber gerne mal etwas fragen, damit ich dafür kein eigenen Thread erstellen muss und da sich die Frage bzgl. derselben Aufgabe richtet. Wie kann man das lösen? Insbesondere stört mich ja die implizite Darstellung der Funktion. Wäre es möglich diese einfach nach y aufzulösen und davon dann das Kurvenintegral bzgl. dem gegebenen Weg zu berechnen? Das war nämlich zunächst meine Idee, um danach von der berechneten Gleichung Rückschlüsse auf a,b,c zu beziehen. Oder gibt es ein Tipp wie man das normalerweise lösen sollte?
28.06.2014, 23:05	DeltaX	Auf diesen Beitrag antworten »
Guten Abend alle zusammen! Ich hab jetzt für t verschiedene Werte eingesetzt, also $\begin{eqnarray} \pi, \frac \pi 2, \frac \pi 4, 2\pi \end{eqnarray}$ und die Komponenten $\begin{eqnarray} x,y,z \end{eqnarray}$ damit errechnet und somit ein LGS erzeugt, welches ich so lösen konnte: Es gibt unendlich viele Lösungen. Aus zwei Gleichungen erhalte ich $\begin{eqnarray} \alpha = 4\gamma \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \beta = 4 \gamma \Leftrightarrow \alpha = \beta \end{eqnarray}$ Für $\begin{eqnarray} \gamma \end{eqnarray}$ erhalte ich stehts durch einsetzen von $\begin{eqnarray} \alpha , \beta \end{eqnarray}$ eine Nullzeile, sodass ich einfach Parametrisiert habe: $\begin{eqnarray} \gamma = k \Rightarrow \alpha = \beta = 4k \end{eqnarray}$ Ich habe dann k=1 gewählt, ist schöner. Das habe ich für ein zwei Punkte mal ausprobiert, also verschiedene t in $\begin{eqnarray} \vec w \end{eqnarray}$ eingesetzt und Punktkoordinaten herausbekommen, die lagen alle samt auf dem Kegel (die Gleichung hat für jene Punkte immer eine wahre Aussage ergeben.) Dementsprechend werde ich jetzt die folgenden Aufgaben mit $\begin{eqnarray} \alpha =4 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \beta = 4 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \gamma =1 \end{eqnarray}$ durchführen. 2. Aufgabe ist nämlich, die Projektion der Kurve in der x-y-Ebene darzustellen. Da in der x-y-Ebene gilt, dass z=0 ist, setze ich einfach z=0 in der Kegelgleichung/Quadrik und löse diese Nach 4 auf. Ich erhalte dann ja eine Funktion aus dem R². Um nun die Kurve darzustellen setze ich doch wieder Werte für t in $\begin{eqnarray} \vec w(t) \end{eqnarray}$ ein und erhalte dann ja wieder Werte für x,y,z, die ich dann in dem Diagramm darstelle oder? (Bei der Dritten Aufgabe sollen wir $\begin{eqnarray} \int_{\vec w} f ds \end{eqnarray}$ errechnen, wenn $\begin{eqnarray} f(\vec x)=\sqrt {5+ \frac 14 z^2} \end{eqnarray}$ ist, da sehe ich - bis jetzt - ja noch kein Problem ) Vielleicht ist damit, also meinem zweiten Schritt ja auch MannyC's Frage mitinbegriffen. Dankeschön!
29.06.2014, 15:19	DeltaX	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallöchen! Ist meine Idee zum Zeichnen der Spur in der x-y-Ebene denn okay? Edit.// Restlicher Text hatte gefehlt: Wenn ich z=0 gesetzt habe, da ja nur die x-y-Ebene interessant ist und danach versuche die Kegelgleichung $\begin{eqnarray} 4y^2+4x^2=0 \end{eqnarray}$ aufzulösen habe ich das Problem, dass is einen Negativen Ausdruck unter der Wurzel bekomme: $\begin{eqnarray} y=\sqrt {-x^2} \end{eqnarray}$ , und das ist eben nicht mehr reell... Danke!
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29.06.2014, 17:02	DeltaX	Auf diesen Beitrag antworten »
Heyho! Ich will den Thread nicht pushen, oder so. Ich möchte nur Rückmeldung geben, dass ich's hinbekommen habe. Mir leider aber erst spät aufgefallen, dass ich die Kegelgleichung garnicht mehr benötige. Ich habe lediglich für t werte in die Vektorfunktion eingesetzt und die mit steigendem t in ein x-y-Diagramm gezeichnet und es kommt das gewünschte Ergebnis heraus. Dankeschön und bis dann!
29.06.2014, 23:20	MannyC	Auf diesen Beitrag antworten »
Abend DeltaX, ich wollte dich mal folgendes fragen. Bei der Aufgabe c wird ja vom IR hoch 3 zum IR abgebildet, aber die gegebene Funktion selber ist ja nur von z abhängig, wieso ist dann die Rede vom IR hoch 3 ?
29.06.2014, 23:36	DeltaX	Auf diesen Beitrag antworten »
Das liegt m.E. daran, dass die Kurve $\begin{eqnarray} \vec w(t) \end{eqnarray}$ in den R³ abbildet. Demnach sollten Komponenten und Variablen übereinstimmen. Abgesehen davon; f ist ja dennoch eine Funktion aus dem R³, nur sind x und y dabei gleich Null.

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