Kurven

28.06.2014, 12:49	Malameister	Auf diesen Beitrag antworten »
Kurven Meine Frage: Bestimmen sie von der Funktion: $\begin{eqnarray} f(x,y)= x^{2}+\ sin^{2}(y) \end{eqnarray}$ im Bereich mit $\begin{eqnarray} \|x\| \leq 1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \|y\| \leq 2 \end{eqnarray}$ die Sattelpunkte sowie auch die relativen Extremwerte inklusive Nachweis, ob es sich jeweils um Minimum oder Maximum handelt. Meine Ideen: Ich würde zuerst den Gradienten bilden und der muss gleich dem Nullvektor sein (bei Minimum oder Maximum). Wie gehe ich dann weiter vor?
29.06.2014, 21:10	Equester	Auf diesen Beitrag antworten »
Da noch keiner geantwortet hat, kann ich mich mal dran versuchen . Tu doch gerade mal wie du sagst. Wo kommst du da hin?
30.06.2014, 20:42	Malameister	Auf diesen Beitrag antworten »
Und zwar lautet der Gradient dann: (2x, 2sin(y)cos(y))^T Das muss gleich dem Nullvektor sein. Das heißt x=0 und y muss auch gleich Null sein. Um eine Aussage über eine Extremstelle zu treffen, habe ich die Hessematrix gebildet. diese lautet dann: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2(cos^2(y)-sin^2(y) \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Da die Determinante von der Hessematrix gleich 0 ist. Würde ich behaupten diese ist semidefinit und es lässt sich keine Aussage über Extremstellen an diesen Punkt treffen. Daher ist es ein Sattelpunkt. Richtig? Wäre nett wenn du mir weiter hilfst.
30.06.2014, 23:03	Equester	Auf diesen Beitrag antworten »
Dass (x,y) = (0,0) eine kritische Stelle ist, ist schonmal richtig. Es gibt aber zwei weitere im obigen Intervall . Die Hesse-Matrix ist richtig aufgestellt. Die Determinante ist aber nicht 0? Wie kommste da drauf?
01.07.2014, 15:07	Malameister	Auf diesen Beitrag antworten »
Aber es gibt hier doch nur die trivial Lösung. Ansonsten würde 2x ja niemals 0 werden? Ich habe den Punkt 0 in die Hessematrix eingesetzt und die det(H(f)) gebildet.
21.07.2014, 11:16	Malameister	Auf diesen Beitrag antworten »
Kann mir hier jemand weiter helfen?
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21.07.2014, 11:50	Equester	Auf diesen Beitrag antworten »
Verzeih mir. Völlig übersehen . Darfst dich gerne auch früher rückmelden^^. Nein, (0,0) ist nicht die einzige kritische Stelle. Es stimmt, der x-Wert muss immer 0 sein. Für y trifft das aber nicht zu. Was muss/darf für y gelten?
23.07.2014, 14:05	Malameister	Auf diesen Beitrag antworten »
Also liegen hier folgende kritische Stellen vor: $\begin{eqnarray} P1(0,0) ; P2(0,\frac{\pi}{2}) ; P3(0,-\frac{\pi}{2}) \end{eqnarray}$ Um zu überprüfen ob ein Minimum oder Maximum vorliegt würde ich die kritischen Punkte in die Hessematrix einsetzen. Bei P2 handelt es sich um ein Minimum da die Matrix positiv definit ist. Und bei P3 müsste es ein Maximum sein da die Matrix negativ definit ist, richtig?
25.07.2014, 17:14	Equester	Auf diesen Beitrag antworten »
Was ist denn bei dir positiv und negativ definit? Du schaust dir doch die Eigenwerte an (die hier, da diagonalisiert, direkt abzulesen sind). Für P2 und P3 hast du doch rechts unten negative Werte. Der erste Eintrag ist immer positiv -> indefinit. Nur für P1 haben wir rechts unten ebenfalls einen positiven Wert -> positiv definit. Und damit ein Minimum bei P1. P1 - Minimum P2/P3 - Sattelpunkt

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