Lineares Gleichungssystem lösen

28.06.2014, 18:14

130ju7

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Lineares Gleichungssystem lösen

Meine Frage:
Hallo!
Ich habe ein Gleichungssystem und es auch gelöst und anschließend mit meinem GTR überprüft, aber die Lösungen stimmen nicht überein und ich finde einfach meinen Fehler nicht.

Meine Ideen:
$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} 2x_1 & -4x_2 & +5x_3 =3 \\ 3x_1 & +3x_2 & +7x_3=12 \\ 4x_1 & -2x_2 & -3x_3 =-1 \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

das ist die Aufgabe und dann hab ich weiter gerechnet:

$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} 2x_1 & -4x_2 & +5x_3 =3 \\ 9x_2 & -0,5x_3=5,5 \\ & 2x_2 & -12,3x_3 =18,3 \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} 2x_1 & -4x_2 & +5x_3 =3\\ & 9x_2 & -0,5x_3 =5,5\\ & 2x_2 & -12,3x_3 =-18,3\end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} 2x_1 & -4x_2 & +5x_3 =3\\ & 9x_2 & -0,5x_3 =5,5\\ & & x_3 =-1,2\end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

Mein Taschenrechner sagt mir aber, dass X1=X2=X3= 1 ist, also muss ich schon am Anfang irgendwo einen Fehler gemacht haben, den ich nicht finde.

Edit (mY+): LaTeX berichtigt. KEINE Zeilenumbrüche innerhalb des Terms und 7 auf / korrigiert.

28.06.2014, 18:46

mYthos

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(1; 1; 1) ist NICHT Lösung des angeschriebenen Systems.
Setze dies zur Kontrolle mal in die 2. Gleichung ein.

mY+

29.06.2014, 11:36

130ju7

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Habe ich das jetzt richtig verstanden, dass die Lösungsmenge nicht X1=1, X2=1 und X3=1 ist ? Dann gibt mir mein Taschenrechner aber ein falsches Ergebnis aus oder nicht? Ich bin verwirrt.

29.06.2014, 11:46

Bonheur

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Ich übernehme kurz.

Ich hoffe, dass mir mYthos nicht böse ist. Big Laugh

Big Laugh

Zitat:

Original von 130ju7
Habe ich das jetzt richtig verstanden, dass die Lösungsmenge nicht X1=1, X2=1 und X3=1 ist ? Dann gibt mir mein Taschenrechner aber ein falsches Ergebnis aus oder nicht?

Ja. Das stimmt nicht.
Dann tippst du das falsch in deinen Taschenrechner ein.

Wie tippst du das denn ein ?

29.06.2014, 11:52

130ju7

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Also wir haben da im GTR ja diese Funktion für Matrizen.
Dann gibt man die erst ein also so:

2 -4 5 3

3 3 7 13

4 -2 -3 -1

und dann benutzt man die Funktion rref

Dann gibt mein GTR mir aus:

1 0 0 1
0 1 0 1
0 0 0 1

29.06.2014, 11:57

Bonheur

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Zitat:

Original von 130ju7
3 3 7 13

Ist diese 13 ein Schreibfehler von dir, weil du oben zwöf angegeben hast ?

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29.06.2014, 11:59

130ju7

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Oh ja das ist ein Schreibfehler. Es muss oben eine 13 stehen.

29.06.2014, 12:03

Bonheur

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Dann ist diese Lösung richtig.
(1; 1; 1)

d.h

$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} 2x_1 & -4x_2 & +5x_3 =3 \\ 3x_1 & +3x_2 & +7x_3=\textcolor{red}{13} \\ 4x_1 & -2x_2 & -3x_3 =-1 \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

dass du dieses Gleichungssystem lösen musst ?

29.06.2014, 12:05

130ju7

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Ja genau. Tut mir leid für den Rechtschreibfehler.

29.06.2014, 12:07

Bonheur

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Weißt du wie man solche Gleichungssysteme löst ?

Wenn ja, wie würdest du anfangen ?

29.06.2014, 12:17

130ju7

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Wir sollen das mit dem Gauß-Verfahren lösen. Dazu benutzt man ja dieses Stufenmodell. Also muss man irgendwie das Additionsverfahren anwenden, dass man zu diesem Modell kommt.

Ich hätte jetzt die erste Zeile zur zweiten Zeile mal (-1,5) genommen und dieses dann addiert, sodass man dann in der zweiten Gleichung dies hat:

$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} 2x_1 & -4x_2 & +5x_3=3 \\ & 9x_2 & -0,5x_3=8,5 \\ 4x_1 & -2x_2 & -3x_3=-1 \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

29.06.2014, 12:27

Bonheur

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Verstehe.

Da hat sich schon ein Fehler eingebaut.

Wenn du die erste Gleichung mit $\begin{eqnarray*} -1.5 \end{eqnarray*}$ multiplizierst, dann musst das auch schreiben.

Sprich:

$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix}\textcolor{red}{ -3x_1} & \textcolor{red}{+6x_2} & \textcolor{red}{-7.5x_3=-4.5 }\\ & 9x_2 & -0,5x_3=8,5 \\ 4x_1 & -2x_2 & -3x_3=-1 \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

29.06.2014, 16:28

130ju7

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Achso ich dachte immer die erste Zeile würde gleich bleiben, aber ich glaube jetzt hab ich das verstanden.

ich hab jetzt weitergerechnet, aber komme trotzdem nicht mehr weiter:

$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} -2,25x_1 & +8x_2 & -10x_3=6 \\ & 9x_2 & -0,5x_3=8,5 \\ & 6x_2 & -10x_3=-4,375 \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

Ich habe mit (4/3) multipliziert und dann addiert, aber komme jetzt nicht mehr weiter.

29.06.2014, 17:12

Mi_cha

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zunächst: man kann die erste Zeile so lassen wie sie ist. Die Umformung muss man nicht hinschreiben, sie ist sogar hinderlich.
Es geht darum, dass man eine Dreiecksform aus Nullen erhält.
Konkret bietet es sich hier an, bei der 2. und 3. Gleichung für x1 eine Null zu erzeugen. Dafür addiert man ein Vielfaches des ersten Gleichung zu einem Vielfachen der jeweiligen anderen Gleichung.
Hier also 2*II-3*I ergibt die neue zweite Gleichung.

Man erhält:
$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} 2x_1 & -4x_2 & 5x_3=3 \\ & 18x_2 & -1x_3=17 \\ & 6x_2 & -13x_3=-7 \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$ .

Nun muss man noch das x2 in der letzten Zeile auf Null bekommen.

29.06.2014, 17:29

130ju7

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Zitat:

Original von Mi_cha
zunächst: man kann die erste Zeile so lassen wie sie ist. Die Umformung muss man nicht hinschreiben, sie ist sogar hinderlich.
Es geht darum, dass man eine Dreiecksform aus Nullen erhält.
Konkret bietet es sich hier an, bei der 2. und 3. Gleichung für x1 eine Null zu erzeugen. Dafür addiert man ein Vielfaches des ersten Gleichung zu einem Vielfachen der jeweiligen anderen Gleichung.
Hier also 2*II-3*I ergibt die neue zweite Gleichung.

Man erhält:
$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} 2x_1 & -4x_2 & 5x_3=3 \\ & 18x_2 & -1x_3=17 \\ & 6x_2 & -13x_3=-7 \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$ .

Nun muss man noch das x2 in der letzten Zeile auf Null bekommen.

Ich bin ein wenig verwirrt, weil wir das in der Schule irgendwie ein bisschen anders gemacht haben bisher und eher in diesen einzelnen Schritten.

29.06.2014, 17:40

Mi_cha

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ich habe hier 2 Schritte auf einmal durchgeführt, wobei ich bei beiden Schritten das Additionsverfahren verwendet habe, um die Stufenform zu erzeugen.

Ich mache jetzt bloß die Umformung der zweiten Gleichung.
Die neue zweite Gleichung errechnet sich so: 2*II-3*I

$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} 2x_1 & -4x_2 & 5x_3=3 \\ & 18x_2 & -1x_3=17 \\ 4x_1 & -2x_2 & -3x_3=-1 \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

Ist es so besser?

29.06.2014, 22:02

130ju7

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Irgendwie verstehe ich nicht, was 2*II-3*I bedeuten soll. Zweimal die 2. Gleichung - 3 mal die 3. Gleichung? Solche Bezeichnungen hatten wir nie und diesen Rechenschritt kann ich irgendwie nicht nachvollziehen

29.06.2014, 23:14

Bonheur

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Zitat:

Original von Mi_cha
$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} 2x_1 & -4x_2 & 5x_3=3 \\ & 18x_2 & -1x_3=17 \\ 4x_1 & -2x_2 & -3x_3=-1 \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

@Mi_cha
Meine Vorgehensweise war genauso, aber ich wollte mich auf den Weg von 130ju7 einlassen. Big Laugh

Big Laugh

Und wollte ihn am Ende der Prozedur darauf aufmerksam machen. Freude

Freude

@130ju7

Es gibt soviele Wege, wie man auf die Lösung kommen kann.
Wenn du Weg von Mi_cha einschlägst, ist die Wahrscheinlichkeit einen Fehler zu machen, geringer und du hast keine Brüche. Und man sollte auch Brüche verhindern, weil du sonst mehr Fehler machst.

Zitat:

Original von 130ju7
$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} -2,25x_1 & +8x_2 & -10x_3=6 \\ & 9x_2 & -0,5x_3=8,5 \\ & 6x_2 & -10x_3=-4,375 \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

Wenn die erste Gleichung mit $\begin{eqnarray*} \frac{4}{3} \end{eqnarray*}$ multiplizierst, kommst du auf:

$\begin{eqnarray*} -4x_1+8x_2-10x_3=-6 \end{eqnarray*}$

und nicht:

$\begin{eqnarray*} -2.25x_1+8x_2-10x_3=6 \end{eqnarray*}$

Des Weiteren hast du die erste und die dritte Gleichung auch nicht richtig addiert.

$\begin{eqnarray*} -10-3=-13 \neq -10 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} -6-1=-7 \neq -4.375 \end{eqnarray*}$

Zusammenfassend kann man sagen:
$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} -4x_1 & +8x_2 & -10x_3=-6 \\ & 9x_2 & -0,5x_3=8,5 \\ & 6x_2 & -13x_3=-7\end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

Und der andere Weg(sicherer und besser), den Mi_cha eingeschlagen hat:

$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} 2x_1 & -4x_2 & +5x_3 =3 \\ 3x_1 & +3x_2 & +7x_3=12 \\ 4x_1 & -2x_2 & -3x_3 =-1 \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

Zu Beginn die erste Gleichung mit drei multiplizieren und die zweite mit zwei multiplizieren:

Sprich:

$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} 6x_1 & -12x_2 & +15x_3 =9 \\ 6x_1 & +6x_2 & +14x_3=12 \\ 4x_1 & -2x_2 & -3x_3 =-1 \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

Jetzt kannst du mit dem Subtraktionsverfahren die erste Null in der zweiten Zeile(1.Spalte) projizieren. Dafür subtrahierst du die zweite Gleichung mit der ersten.

Sprich:

$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} 6x_1 & -12x_2 & +15x_3 =9 \\ 0x_1 & +18x_2 & -1x_3=17 \\ 4x_1 & -2x_2 & -3x_3 =-1 \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

Und um die Ursprungsform wieder zu bekommen, dividierst du die erste Gleichung wieder mit drei und du kommst auf das System, welches Mi_cha angeschrieben hat.

Zitat:

Original von Mi_cha
$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} 2x_1 & -4x_2 & 5x_3=3 \\ & 18x_2 & -1x_3=17 \\ 4x_1 & -2x_2 & -3x_3=-1 \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

Und ich empfehle dir, den Weg von Mi_cha weiterzuführen, weil du dann Problemen entweichst. smile

smile

Du kannst natürlich auch beides machen, um zu üben.

30.06.2014, 16:03

130ju7

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Dankeschön, nun habe ich es verstanden und nun auch das richtige Ergebnis raus.
Vielen Dank smile

smile

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