Orthonormalbasis

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akamanston Auf diesen Beitrag antworten »
Orthonormalbasis
hi
ich benötige kurz hilfe.
gegeben ist die ebene E: x-y+z=0.
nun soll eine orthonormale basis gefunden werden.

wenn ich das lgs löse dann erhalte ich den eigen raum


ok, nun habe ich die zwei basisvektoren


nun normiere ich und führe gramschmidt durch.
dann erhalte ich die vektoren

das ist nun die ONB, stimmts?
ich gehe mal davon aus, dass das stimmt.

meine frage ist nun was ist eine Basis von ?
muss ich da einfach einen linear unabhängigen vektor wählen, oder wie komme ich denn an ??

und nun die letzte frage. kann ich die basis noch auf eine andere art berechnen? irgendwie mit eigenvektoren oder eigenwerten? das ist nämlich das aktuelle thema....

hoffe ihr könnt mir helfen.
kgV Auf diesen Beitrag antworten »

Du weißt, wie definiert ist?
Damit sollte sich doch etwas machen lassen, oder? Augenzwinkern Tipp: linear unabhängig allein reicht nicht

Lg
kgV
Wink
 
 
akamanston Auf diesen Beitrag antworten »

das bedeutet doch, dass alle vektoren auf einander senkrecht stehen (und länge 1 haben). genau die kriterien erfüllt ja auch schon die ONB. nur fehlt doch ein vektor? im R3 benötige ich noch einen dritten vektor
kgV Auf diesen Beitrag antworten »

Genau, eine Basis von ist einfach ein Vielfaches des Vektors (nicht gerade das Nullfache Augenzwinkern ), der die Basis von zu einer Orthonormalbasis ergänzt

Weil wir uns im bewegen, kannst du sogar das Kreuzprodukt verwenden, um diesen Vektor einfach zu bestimmen smile
akamanston Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von kgV
Weil wir uns im bewegen, kannst du sogar das Kreuzprodukt verwenden, um diesen Vektor einfach zu bestimmen smile

das war der entscheidende impuls! kreizprodukt - na klar, ich hätte es einfach wissen müssen.

jetzt nur noch zum festhalten.

die orthonormale basis des raumes ist somit {u1,u2}
und die basis für Esenkrecht wird durch u3 ergänzt: {u1,u2,u3}, natürlich sind alle zueinander senkrecht und normiert.

kann ich das ganze nun auch mit eigenvektoren/werten ausrechnen?
------------------------------------------------------
nun hab ich noch 3 weitere teilaufgaben.
zur info, meine




a)
sei P Projektion R3 --> R3 an der ebene E. nun soll ich die matrix A zu P bestimmen. was ist damit gemeint? soll ich eine matrix A und P bestimmen die ähnlich zueinander sind?


Zitat:
Die Projektionsmatrix um auf eine Ebene zu projizieren, ist also die Summe der Projektionsmatrizen auf ihre Richtungsvektoren.

das steht bei wiki, aber ich bin so dumm und verstehs nicht.

b) sei v1 v2 v3 die basis von R3. was ist die matrix P in dieser matrix?

c)
Sei Spiegelung S: R3 --> R3 an E. was it die zugehörige matrix in der kanonischen basis(was bringt mir der hinweis mit der kanonischen basis? das sind ja die drei einheitsvektoren)? in der basis v1 v2 v3?
kgV Auf diesen Beitrag antworten »

Ich bin mir nicht ganz sicher, ob du jetzt das richtige meinst, deswegen: Die ONB von E ist , und die Basis von ist , und zwar so, dass eine Basis des bilden

Außerdem stimmt irgendetwas mit deinem nicht, das steht nicht orthogonal auf , nochmal nachrechnen smile

Zitat:
kann ich das ganze nun auch mit eigenvektoren/werten ausrechnen?


Also, ich wüsste nicht, wie sich das mit Eigenvektoren machen ließe, nein (was jetzt keine 100%ige Garantie dafür ist, dass es nicht geht)

a) Hier ist die Abbildungsmatrix der Projektionsabbildung gesucht. Weißt du, wie man Abbildungsmatrizen für lineare Funktionen aufstellt? (wenn nicht, schau dir mal das hier an)

b) Da verstehe ich erst mal nicht, was hier gemeint ist. Meinst du ganz hinten "in dieser Basis"? Wenn nein, kannst du bitte mal den Originalwortlaut rauskramen?

c) Hier ist die Abbildungsmatrix der Spiegelungsabbildung einmal bezüglich der Standardbasis des und einmal bezüglich der von dir bestimmten Basis gesucht
akamanston Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von kgV
Ich bin mir nicht ganz sicher, ob du jetzt das richtige meinst, deswegen: Die ONB von E ist , und die Basis von ist , und zwar so, dass eine Basis des bilden

du hast schon richtig gehant, dass ich es anders gemeint habe, aber jetzt weiß ich was du meinst.

Zitat:
Außerdem stimmt irgendetwas mit deinem nicht, das steht nicht orthogonal auf , nochmal nachrechnen smile

ohman wieso nicht. das kann doch gar nicht sein
es handelt sich ja um v1=(1,1,0) und v2(-1,0,1) (Aus E: x-y+z=0) und das kreuzprodukt ist doch einfach v3=(1,-1,1)
nun habe ich v1 normiert= u1.
u2 erhalte ich durch gramschmidt und u3 ist nur noch der normierte v3. u1 u2 und u3 sind bei mir schon orthogonal.
kgV Auf diesen Beitrag antworten »

Nun, aus welchem Grund auch immer brauchen wir hier das negative des Kreuzprodukts: mit haut es hin smile

Jetzt aber zum Rest der Aufgaben: weißt du mit meinen Hinweisen etwas anzufangen?

PS: Ich schreibe heute, morgen und übermorgen jeweils Klausuren, deswegen kann es mit meinen Antworten etwas dauern unglücklich
akamanston Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von kgV
Nun, aus welchem Grund auch immer brauchen wir hier das negative des Kreuzprodukts: mit haut es hin smile

Jetzt aber zum Rest der Aufgaben: weißt du mit meinen Hinweisen etwas anzufangen?

PS: Ich schreibe heute, morgen und übermorgen jeweils Klausuren, deswegen kann es mit meinen Antworten etwas dauern unglücklich

naja mal schauen ob ich was mit deinen tipps erreiche, habe aber grad keine zeit!
ich habe halt x3=lambda gewählt. damit ist dann mein v3=(1,-1,1) aber das ist doch das gleiche wie v3=(-1,1,-1) eifnach nur mit -1 multipliziert, das darf moch doch bei vektoren machen.
kgV Auf diesen Beitrag antworten »

Ich bin dumm Hammer

Habe die ganze zeit einen Vorzeichenfehler drin gehabt. Dein passt natürlich genauso gut wie meines. Sorry unglücklich
akamanston Auf diesen Beitrag antworten »

ohman, bei der a) ich weiß nicht welche vektoren oder was ich überhaupt verwenden soll

ist P das hier (1, -1, 1) ? das muss ich nun multiplizieren mit etwass^^
ich fühl mich so schlech, ich hab so null plan.
ich erkenne überhaupt nicht den sinn, und b und c klingen auch noch so ähnlich...
kgV Auf diesen Beitrag antworten »

Eine Abbildungsmatrix ist dir aber schon ein Begriff?

Bei der a) musst du einfach die Basisvektoren einer Basis auf E projizieren und das Ergebnis wieder als Linearkombination deiner Basis darstellen


bei a: du nimmst die Standardbasis - dann musst du drei Projektionen berechnen, hast aber keine Probleme mit den Linearkombinationen

bei b: du nimmst die von dir gefundene ONB. Weil zwei der Vektoren schon in E liegen, ändern sie sich unter Projektion auf E nämlich nicht. Du müsstest also nur noch auf E projizieren, und auch dieses Ergebnis ist ziemlich einfach smile
um die c) kümmern wir uns danach
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