lineare funktionale

29.06.2014, 11:46

funktionsalat

lineare funktionale

Hallo ihr Lieben,

Ich habe ein paar Problemchen mit linearen Funktionalen.
z.B. soll ich überprüfen ob

$\begin{eqnarray*} \Phi(f)=f(\frac{a+b}{2}) \forall f \in C[a,b] \end{eqnarray*}$

ein beschränktes lineares Funktional ist. Gehe ich richtig in der Annahme, dass ich diese Frage nicht beantworten kann, wenn nicht gegeben ist, bzgl welcher Norm ich das überprüfen soll? Falls ja, welche Norm könnte hier gemeint sein (ich schätze $\begin{eqnarray*} ||.||_{\infty} \end{eqnarray*}$ ) wie würde ich das mit dieser, oder zB der einser norm überprüfen?

ein anderes Beispiel, wo ich leider auch keine Ahnung hab ist (selbe Aufgabe)

$\begin{eqnarray*} \Phi(f)=\int_a^b f(x) \phi(x) dx \forall f \in L_2[a,b] \end{eqnarray*}$ , dasselbe gibt es nochmal bzgl des L1....

Ich bin schwer am verzweifeln, aber ich schätze es würde mir sehr helfen, wenn ihr mir eines zeigen könntet und ich die anderen dann versuche.

Danke & liebe Grüße

29.06.2014, 12:08

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RE: lineare funktionale
Du brauchst eine Norm auf C[a,b] und die Maximumnorm ist da eine naheliegende Wahl, wenn denn nichts anderes angegeben ist.
Wie ist denn Beschränktheit einer linearen Abbildung definiert?

Was weißt du im zweiten Beispiel über die Funktion $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ ?

29.06.2014, 13:05

funktionsalat

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Naja ein lineares Funktional $\begin{eqnarray*} \Phi \end{eqnarray*}$ heißt beschränkt, wenn ein K>0 existiert mit $\begin{eqnarray*} |\Phi(f)|\leq K ||f||_{\infty} \end{eqnarray*}$
also in dem fall von oben, die Norm ist halt anders, je nachdem welcher Raum geg ist, oder?
ich weiß aber nicht genau wie ich mit Argumenten innerhalb meiner Funktion vorgeh...

über die Abbildung $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ ist noch gegeben, dass sie stetig ist. heißt dass, das ich hier sowas wie:

$\begin{eqnarray*} |\Phi(f)(x)|=|\int_a^b\phi(x)f(x)dx|\leq max|phi|*||f||_2*(b-a) \end{eqnarray*}$ machen kann? im Fall L1 ist es dann genauso, nur mit der 1er Norm?

29.06.2014, 13:22

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Immer der Reihe nach, wir fangen mit $\begin{eqnarray*} C[a,b] \end{eqnarray*}$ an.

Zitat:

Original von funktionsalat
wenn ein K>0 existiert mit $\begin{eqnarray*} |\Phi(f)|\leq K ||f||_{\infty} \end{eqnarray*}$

Genau. Hier also wenn ein K>0 existiert mit $\begin{eqnarray*} |f(\frac{a+b}{2})|\leq K ||f||_{\infty} \end{eqnarray*}$
Kannst du so ein K angeben?

Jetzt $\begin{eqnarray*} L_1[a,b] \end{eqnarray*}$ . Dort ist
$\begin{eqnarray*} \|f\|_1=\int_a^b|f(x)|dx \end{eqnarray*}$
Wie kannst du

Zitat:

$\begin{eqnarray*} |\Phi(f)(x)|=|\int_a^b\phi(x)f(x)dx| \end{eqnarray*}$

damit abschätzen? (Deine Idee war schon recht gut, es geht nur um Details)

29.06.2014, 13:45

funktionsalat

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Naja mein K müsste sowas wie $\begin{eqnarray*} max f(x) \end{eqnarray*}$ sein, oder? :S

Okay naja die 1er Norm steht ja defakto schon da oder? also
$\begin{eqnarray*} |\int_a^b f(x)\phi(x)dx|\leq\int_a^b |f(x)||\phi(x)|dx\leq ||f(x)||_1*||\phi(x)||_1 |b-a| \end{eqnarray*}$

29.06.2014, 14:19

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Nein, K kann nicht von f abhängen.
Wie du auf die zweite Abschätzung kommst, verstehe ich nicht. Die Idee ist, $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ durch sein Max abzuschätzen und aus dem Integral zu ziehen.

29.06.2014, 14:26

funktionsalat

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Ich hab leider echt keine Idee wie ich $\begin{eqnarray*} f(\frac{a+b}{2} \end{eqnarray*}$ abschätzen könnte, sodass mir nicht gleich ein gegenbeispiel einfällt. b+a kanns nicht sein, da wenn ich a+b<1 wähle zB der sinus irgendwann 1 wird ._.

bzgl dem anderen beispiel Freude

das ergibt jetzt Sinn! nur im L2 kann ich das nicht so einfach machen, da meine Norm ja nicht dasteht, was? :/

29.06.2014, 14:28

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Du könntest f schlicht durch sein Maximum abschätzen...

Für L2 gibt es die Cauchy-Schwarzsche-Ungleichung

29.06.2014, 14:36

funktionsalat

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Jetzt blick ich nicht mehr durch traurig

Gerade meintest du doch, K darf nicht von f abhängen? Oder steh ich komplett auf der Leitung.

Okaaay, mal schaun:

$\begin{eqnarray*} |\int_a^b f(x)\phi(x) dx|=|\langle f,\phi\rangle|\leq ||f||_2 *max(\phi)*|b-a| \end{eqnarray*}$
Hab ich das zumindest Ansatzweise richtig verstanden?

29.06.2014, 14:43

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$\begin{eqnarray*} |f(\frac{a+b}{2})|\leq ||f||_{\infty} = 1\, ||f||_{\infty} \end{eqnarray*}$
also ist K=1 unabhängig von f

Du kannst einfach
$\begin{eqnarray*} |\int_a^b f(x)\phi(x) dx|=|\langle f,\phi\rangle|\leq ||f||_2 ||\phi||_2 \end{eqnarray*}$
nehmen oder
$\begin{eqnarray*} |\int_a^b f(x)\phi(x) dx|\leq ||\phi||_\infty |\langle f,1\rangle|\leq ||f||_2 \sqrt{b-a} \end{eqnarray*}$

29.06.2014, 14:57

funktionsalat

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Au man... Danke! Den Wald vor lauter Bäumen nicht oder so smile

Okay dann probier ich jetzt mal eins, es geht wieder um die beschränktheit:
$\begin{eqnarray*} f(x):=\frac{1}{n+1}\sum_{i=0}^n i f(\frac{i}{n}) \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} (C[0,1],||.||_{\infty}) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} |f(x)|=|\frac{1}{n+1}\sum_{i=0}^n i f(\frac{i}{n})|\leq |\frac{1}{n+1}|*||f||_{\infty} \sum_{i=0}^{n} i=\frac{n*(n+1)}{2(n+1)} ||f||_{\infty} =\frac{n}{2} ||f||_{\infty} \end{eqnarray*}$

Also für n<unendlich ist das Funktional beschränkt, im Grenzfall n -> unendlich nicht mehr.

und
$\begin{eqnarray*} \phi: C[a,b] \rightarrow \mathbb{R}; \phi(f)=\frac{f(a)+f(b)}{2} \end{eqnarray*}$
Hier kann man gleich direkt mit $\begin{eqnarray*} ||f||_{\infty} \end{eqnarray*}$ abschätzen und K=1

29.06.2014, 15:12

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Was ist denn im ersten Fall das Funktional? Soll das f(x) ein $\begin{eqnarray*} \phi(f) \end{eqnarray*}$ sein? verwirrt

Wenn dem so ist, dann stimmt der Rest (wobei der Grenzfall irrelevant ist; du willst wissen, ob das Funktional für festes n beschränkt ist. Anders sieht es aus, wenn du die Famile der Funktionale betrachtest und wissen willst, ob die ganze Famile normbeschränkt ist)

Die zweite Abschätzung ist auch richtig.

29.06.2014, 16:16

funktionsalat

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Bin mir nicht sicher, die Aufgabe ist genauso einer alt Klausur entnommen! :/

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