Euler'sche Formel, Beweis

29.06.2014, 17:48

Kimyaci

Euler'sche Formel, Beweis

Aufgabe: Zeigen Sie mithilfe der Euler'schen Formel, dass gilt

$\begin{eqnarray*} \tan(2x) = \frac{2}{\cot(x) - \tan(x)} \end{eqnarray*}$

Sitze schon seit zwei Stunden an dieser Aufgabe, die Eulersche Formel $\begin{eqnarray*} e^{i x} = \sin(x) i + \cos(x) \end{eqnarray*}$ bringt mich auch nicht wirklich weiter. Weiß auch nicht so recht wo ich überhaupt anfangen soll.. verwirrt

29.06.2014, 19:19

Hippocampus

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Hi
vielleicht hilft dir das weiter:
answers.yahoo(.)com/question/index?qid=20130305144952AALNjKe
Ich werde mich auch mal an die Lösung wagen...

MfG

EDIT: Hab übersehen, dass der Beweis mit der eulerschen Formel erfolgen soll. Ich glaube, ich lasse es lieber smile

29.06.2014, 20:05

Cheftheoretiker

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Versuch es mal mit $\begin{eqnarray*} \sin(x)=\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \cos(x)=\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2} \end{eqnarray*}$ und benutze das $\begin{eqnarray*} \cot(x)=\frac{1}{\tan(x)} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \tan(x)=\frac{\sin(x)}{\cos(x)} \end{eqnarray*}$ . Damit sollte es klappen Augenzwinkern

06.07.2014, 16:42

Kimyaci

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Sorry für die späte Antwort.

@Hippo: Dein Link lässt sich nicht öffnen.

@Chef:

Hm ich komme einfach nicht drauf, hab so angefangen:

$\begin{eqnarray*} \tan(2x) = \frac{2}{\cot(x) - \tan(x)} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \tan(2x) = \frac{2}{\frac 1 {\tan(x)} - \tan(x)} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \tan(2x) = \frac{2}{\frac{\cos(x)}{\sin(x)} - \frac{\sin(x)}{\cos(x)}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \tan(2x) = \frac{2}{\frac{\cos^2(x)}{\sin(x)\cos(x)} - \frac{\sin^2(x)}{\cos(x)\sin(x)}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \tan(2x) = \frac{2}{\frac{\cos^2(x)-\sin^2(x)}{\sin(x)\cos(x)}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \tan(2x) = \frac{2\sin(x)\cos(x)}{\cos^2(x)-\sin^2(x)} \end{eqnarray*}$

Mit den Additionstheoremen könnte ich jetzt eigentlich:

$\begin{eqnarray*} \tan(2x) = \frac{\sin(2x)}{\cos(2x)} = \tan(2x) \end{eqnarray*}$

Aber gut, mit der Euler'schen Formel:

$\begin{eqnarray*} \tan(2x) = \frac{\frac 1 2 i e^{-2ix} - \frac 1 2 i e^{2ix}}{\frac 1 4 e^{-2ix} + \frac 1 4 e^{2ix} + \frac 1 2 + \frac 1 4 e^{-2ix} + \frac 1 4 e^{2ix} - \frac 1 2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \tan(2x) = \frac{\frac 1 2 i e^{-2ix} - \frac 1 2 i e^{2ix}}{\frac 1 2 e^{-2ix} + \frac 1 2 e^{2ix} } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \tan(2x) = \frac{\frac 1 2 i \cdot \left( e^{-2ix} - e^{2ix} \right) }{\frac 1 2 \cdot \left( e^{-2ix} + e^{2ix} \right) } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \tan(2x) = \frac{i \cdot \left( e^{-2ix} - e^{2ix} \right) }{ e^{-2ix} + e^{2ix} } \end{eqnarray*}$

Und nun?

06.07.2014, 17:15

Leopold

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Nicht das Schöne häßlich machen, sondern das Häßliche schön. Beginne von der andern Seite:

$\begin{eqnarray*} \frac{2}{\cot x - \tan x} = \frac{-2 \operatorname{i}}{\frac{\operatorname{e}^{\operatorname{i}x} - \operatorname{e}^{-\operatorname{i}x}}{\operatorname{e}^{\operatorname{i}x} + \operatorname{e}^{-\operatorname{i}x}} + \frac{\operatorname{e}^{\operatorname{i}x} + \operatorname{e}^{-\operatorname{i}x}}{\operatorname{e}^{\operatorname{i}x} - \operatorname{e}^{-\operatorname{i}x}}} = \frac{-2 \operatorname{i}}{\frac{\left( \operatorname{e}^{\operatorname{i}x} - \operatorname{e}^{-\operatorname{i}x} \right)^2 + \left( \operatorname{e}^{\operatorname{i}x} + \operatorname{e}^{-\operatorname{i}x} \right)^2}{\operatorname{e}^{2 \operatorname{i}x} - \operatorname{e}^{-2 \operatorname{i}x}}} = -2 \operatorname{i} \cdot \frac{\operatorname{e}^{2 \operatorname{i}x} - \operatorname{e}^{-2 \operatorname{i}x}}{2 \left( \operatorname{e}^{2 \operatorname{i}x} + \operatorname{e}^{-2 \operatorname{i}x} \right)} \end{eqnarray*}$

EDIT
Tippfehler nach Hinweis von Kimyaci korrigiert.

06.07.2014, 17:22

Kimyaci

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Kleiner Tippfehler:

Zitat:

$\begin{eqnarray*} -2 \operatorname{i} \cdot \frac{\operatorname{e}^{2 \operatorname{i}x} - \operatorname{e}^{-2 \operatorname{i}x}}{2 \left( \operatorname{e}^{2 \operatorname{i}x} + \operatorname{e}^{- \textcolor{red}{2} \operatorname{i}x} \right)} \end{eqnarray*}$

Okay ich verstehe worauf du hinaus willst. ^^

Nun fertig?

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