Polynomfunktion 3. Grades - Nullstelle

29.06.2014, 22:05

Oiram12345

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Polynomfunktion 3. Grades - Nullstelle

Meine Frage:
Hallo zusammen,

für folgende Funktion soll ich das "k" bestimmen, bei dem die Funktion nur eine Nullstelle hat:

$\begin{eqnarray*} f\left(x\right)=7x^{3}-2x^{2}+2kx \end{eqnarray*}$

Ich habe die Funktion schon in GeoGebra eingegeben und herum probiert.
Ergebnis: Solange das letzte "x" positiv ist hat sie nur eine Nullstelle.

Aber wie komme ich da rein rechnerisch drauf ???

Meine Ideen:
Habe schon ein x ausgeklammert und den "Rest"

$\begin{eqnarray*} 0=7x^{2}-2x+2k \end{eqnarray*}$

durch die Mitternachtsformel gejagt.

$\begin{eqnarray*} x_{1/2}=\frac{2\pm \sqrt{4-4*7*2k} }{14} \end{eqnarray*}$

Jetzt habe ich:

$\begin{eqnarray*} x_{1}=\frac{5-56k}{49} \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} x_{2}=\frac{-3-56k}{49} \end{eqnarray*}$

Aber leider auch keine Idee mehr wie es weiter gehen soll.

29.06.2014, 22:11

10001000Nick1

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Warum verschwindet da auf einmal die Wurzel?

29.06.2014, 22:26

Oiram12345

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Weil ich unter der Wurzel etwas negatives hatte.

$\begin{eqnarray*} x_{1/2}=\frac{1\pm \sqrt{4-56k} }{7} \end{eqnarray*}$

Da hab ich sie einfach durch quadrieren entfernt um weiter zu kommen... Hammer

Hammer

29.06.2014, 22:29

10001000Nick1

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geschockt

Ich weiß zwar nicht, wie du darauf kommst, dass man die Wurzel einfach weglassen darf. Jedenfalls geht das nicht!
Der Term unter der Wurzel muss nicht unbedingt negativ sein. Es gibt auch Werte von k, für die der Term Null oder positiv ist.

Was muss denn jetzt gelten, damit $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ nur eine Nullstelle besitzt?

29.06.2014, 22:37

Oiram12345

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War halt ein Versuch.

Allerdings müsste es dann auch

$\begin{eqnarray*} x_{1} ^{2} \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} x_{2} ^{2} \end{eqnarray*}$

sein. EGAL Big Laugh

Big Laugh

Laut GeoGebra muss die Zahl vor dem letzten x positiv und größer als ca. 0,15 sein.

29.06.2014, 22:44

Zitrone008

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$\begin{eqnarray*} x_{1/2}=\frac{2\pm \sqrt{4-4*7*2k} }{14} \end{eqnarray*}$

Betrachte dir mal den Term genauer. Du erhälst ja immer zwei Ergebnisse wegen dem $\begin{eqnarray*} \pm \end{eqnarray*}$ .
Wann erhälst du denn nur ein Ergebnis?

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29.06.2014, 22:53

Oiram12345

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Wenn ich unter der Wurzel Null bekomme und somit 2 plus/minus 0

Aber um unter der Wurzel auf Null zu kommen, muss ich die -56 mit k=1/14 multiplizieren.

1/14 mal 2 sind 1/7 also 0,1428... vor dem letzten x.

Und 0,14 vor dem letzten x war schon zu klein, da hatte die Fkt. dann 3 Nullstellen...

29.06.2014, 22:59

Oiram12345

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1/7 x geht !!! Big Laugh

Big Laugh

Es ist verdammt knapp aber sie bleibt über der X-Achse bzw. geht nicht durch!!!

29.06.2014, 23:05

Zitrone008

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Hey,

du hasts doch schon gesagt.

Zitat:

Wenn ich unter der Wurzel Null bekomme und somit 2 plus/minus 0

$\begin{eqnarray*} 4-4*7*2k=0 \end{eqnarray*}$

LG

29.06.2014, 23:14

Oiram12345

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Ich werd verückt!!!

Genau, wenn ich in der MF nur eine Lösung erhalte, dann habe ich auch nur eine Nullstelle,
is ja logisch!!! :-D

Gibt es jetzt noch einen Hinweis darauf, dass alle Zahlen die größer sind als 1/7 das auch erfüllen?
Obwohl das dann in der MF nicht mehr klappt !?

29.06.2014, 23:19

Zitrone008

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$\begin{eqnarray*} 4-4*7*2k=0 \end{eqnarray*}$
Schau nochmal genau hin Augenzwinkern

Augenzwinkern

Das Ergebnis ist 1/14.

Wenns in der Mitternachtsformel nicht mehr klappt dann hast du keine Lösung -> keine Nullstelle. Du sucht ja aber das Ergebnis für eine Nullstelle, also ist es bei genau $\begin{eqnarray*} k=1/14 \end{eqnarray*}$

LG

29.06.2014, 23:21

Bjoern1982

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Das ist jedoch nicht die Lösung zur obigen Aufgabenstellung.
Ich hoffe das ist klar.

29.06.2014, 23:21

10001000Nick1

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Ihr vergesst die Nullstelle bei x=0. Diese ist ja auf jeden Fall da, unabhängig von k. D.h. mit der Mitternachtsformel darf man keine zusätzliche Nullstelle mehr erhalten.

29.06.2014, 23:28

Oiram12345

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Ja genau, hatte es gleich eingegeben.

$\begin{eqnarray*} f\left(x\right)=7x^{3}-2x^{2}+2*\frac{1}{14}x \end{eqnarray*}$

Vielen Dank für deine Hilfe!!! Freude

Freude

29.06.2014, 23:28

Zitrone008

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Stimmt wohl Hammer

Hammer

Aber das Prinzip hast du ja jetzt verstanden.

29.06.2014, 23:30

Bjoern1982

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Zitat:

$\begin{eqnarray*} f\left(x\right)=7x^{3}-2x^{2}+2*\frac{1}{14}x \end{eqnarray*}$

unglücklich

29.06.2014, 23:32

Oiram12345

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Die Nullstelle bei (0/0) hatte ich immer im Kopf.
Dachte aber da die Funktion die X-Achse nur berührt und nicht durch geht ist das keine Nullstelle in dem Sinne.

Wie ist den nun die Lösung?

29.06.2014, 23:40

Zitrone008

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$\begin{eqnarray*} k>1/14 \end{eqnarray*}$
Bei $\begin{eqnarray*} k=1/14 \end{eqnarray*}$ hast du ja eine Lösung in der Mitternachts Formel, also muss unter der Wurzel etwas negatives stehen damit du sie nicht lösen kannst. Dann bleibt deine Einzige Nullstelle x=0

29.06.2014, 23:48

Oiram12345

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Okay jetzt haben wirs. Big Laugh

Big Laugh

Nochmals vielen Dank!!! Freude

Freude

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