Exakte Differentialgleichung

30.06.2014, 02:13

MannyC

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Exakte Differentialgleichung

Hallo, ich könnte Hilfe gebrauchen die exaktheit zweier Differentialgleichungen zu zeigen.

1. $\begin{eqnarray*} 1-xy+xyy'-x^2y'=0 \end{eqnarray*}$
2. $\begin{eqnarray*} ln(y^2+1)+\frac{2y(x+1)}{y^2+1}=0 \end{eqnarray*}$

Nun wende ich folgendes an um die Exaktheit zu zeigen:

,,Die DGL 1. Ordnung $\begin{eqnarray*} g(x,y)dx+h(x,y)dy=0 \end{eqnarray*}$ mit dg/dy=dh/dx heißt exakt."

Wenn ich meine gegebenen Differentialgleichungen umforme komm ich auf:

1. $\begin{eqnarray*} (1-xy)dx+(xy-x^2)dy=0 \end{eqnarray*}$
2. $\begin{eqnarray*} (ln(y^2+1)(y^2+1))dx+(2xy+2y)dy=0 \end{eqnarray*}$

Und wenn ich nun die Bedingung der Exaktheit zeige, komm ich auf ungleiche Ableitungen, deshalb muss entweder etwas falsch sein oder beide Differentialgleichungen sind tatsächlich nicht exakt.

30.06.2014, 02:41

MannyC

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Ich denke, dass ich einen integrierenden Faktor finden muss. unglücklich

unglücklich

Melde mich dann mal wenn ich soweit bin bzw. nicht weiterkomme!

30.06.2014, 03:17

MannyC

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So ich bins nochmal. Die Frage war ja ob die gegebenen DGL exakt sind und wenn sie es sind sollten wir sie lösen.

Ich habe die erste gegebene DGL

$\begin{eqnarray*} 1-xy+xyy'-x^2y'=0 \end{eqnarray*}$

umgeformt zu

$\begin{eqnarray*} (1-xy)dx+(xy-x^2)dy=0 \end{eqnarray*}$

Wenn ich nun ,,Die DGL 1. Ordnung $\begin{eqnarray*} g(x,y)dx+h(x,y)dy=0 \end{eqnarray*}$ mit dg/dy=dh/dx heißt exakt." hier anwende, dann ist sie nicht exakt, da sie diese Bedingung nicht erfüllt.

Aber ich kann sie exakt machen indem ich den Integrierenden Faktor 1/x nutze richtig ? Dann könnte ich die DGL auch lösen oder??

Aber ist die gegebene DGL nun exakt oder nicht? Ich denke schon, da ich ja nur einen Wert dazu multipliziert habe und es sich somit immmer noch um dieselbe DGL handelt richtig ?

Bei der zweiten DGL ist es aber echt schwieriger. unglücklich

unglücklich

Jemand ein Tipp?

30.06.2014, 06:49

Leopold

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Die gegebene Differentialgleichung 1. ist nicht exakt, die umgeformte schon.

Bei der zweiten Gleichung (da fehlt wohl im Original der Faktor $\begin{eqnarray*} y' \end{eqnarray*}$ ) gibt es einen nur von $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ abhängigen integrierenden Faktor $\begin{eqnarray*} \mu(y) \end{eqnarray*}$ .

30.06.2014, 12:36

MannyC

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Ups, es soll

2. $\begin{eqnarray*} ln(y^2+1)+\frac{2y(x+1)}{y^2+1}y'=0 \end{eqnarray*}$

Und das kann ich nun (denke ich) umformen zu

$\begin{eqnarray*} (ln(y^2+1)(y^2+1))dx+(2xy+2y)dy=0 \end{eqnarray*}$

Woher weisst du das sofort, dass der integrierende Faktor nur von y abhängig ist?

Du meinst sicher den Ansatz $\begin{eqnarray*} d(2xy+2y)/dx - d(ln(y^2+1)(y^2+1))/dy \end{eqnarray*}$

Und diesen Wert nun durch $\begin{eqnarray*} (ln(y^2+1)(y^2+1)) \end{eqnarray*}$ teilen. Den herrausbekommenen Wert bezeichne ich mal als G(y).

Daraus resultiert, dass der Faktor M(y)=exp(Int G(y)dy)st.

30.06.2014, 13:05

Leopold

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Zitat:

Original von MannyC
Woher weisst du das sofort, dass der integrierende Faktor nur von y abhängig ist?

Ich weiß das gar nicht, ich habe es einfach ausprobiert:

$\begin{eqnarray*} (y^2 + 1) \cdot \ln (y^2 + 1) \cdot \mu(y) ~ \dd x + (2xy+2y) \cdot \mu(y) ~ \dd y = 0 \end{eqnarray*}$

Schaut man sich nun die Integrabilitätsbedingung an, wird man auf die Differentialgleichung

$\begin{eqnarray*} (y^2+1) \cdot \mu'(y) + 2y \cdot \mu(y) = 0 \end{eqnarray*}$

geführt, die sich leicht lösen läßt. Und mit dem resultierenden integrierenden Faktor $\begin{eqnarray*} \mu(y) \end{eqnarray*}$ wird die Differentialgleichung exakt.

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30.06.2014, 15:18

MannyC

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Ich komme auf folgenden Faktor den ich zu meiner zweiten gegebenen DGL dazumultiplizieren muss:

Es war gegeben

$\begin{eqnarray*} ln(y^2+1)+\frac{2y(x+1)}{y^2+1}y'=0 \end{eqnarray*}$

Das ist äquivalent zu

$\begin{eqnarray*} (ln(y^2+1)(y^2+1))dx+(2xy+2y)dy=0 \end{eqnarray*}$

Nun den Eulerschen Multiplikator dazu bestimmen mit dem ich die gegebene noch nicht exakte DGL multiplizieren muss:

$\begin{eqnarray*} M(y)=e^{\int_a^b \! M(y) \, dy } \end{eqnarray*}$ mit

$\begin{eqnarray*} M(y)=\frac{2y-2yln(y^2+1)+2y}{ln(y^2+1)(y^2+1)} \end{eqnarray*}$

(Bitte ohne Grenzen betrachten, es ist nämlich einfach nur die Stammfunktion gesucht)

So korrekt? Hammer

Hammer

30.06.2014, 15:36

MannyC

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So, ich habe das mal berechnet, vereinfacht und zuammengefasst. Komme somit auf folgenden Faktor:

$\begin{eqnarray*} \frac{ln^{2} (y^2+1)}{y^2+1} \end{eqnarray*}$

Bei der ersten DGL war es dagegen 1/x.

So richtig?

Danach müsste ich die beiden DGL lösen, dafür brauch ich aber keine hilfe, weil das einfach ist! Deshalb warte ich mal auf deine Antwort. Augenzwinkern

Augenzwinkern

30.06.2014, 16:13

DeltaX

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Nur mal so als Tipp (gehe stark davon aus, dass Du auch E-Techniker bist...)

Wenn du in der großen Übung warst, ist die ganze Aufgabe in 4 Schritten durch und du musst lediglich einmal eine der simpelsten Substitutionen durchführen Augenzwinkern

Augenzwinkern

Wink

Edit:// Tipp: Hat was mit dem Potential $\begin{eqnarray*} \Phi (x,y) \end{eqnarray*}$ zu tun...

30.06.2014, 16:52

MannyC

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Hallo & vielen dank für die Antwort. Ja, bin Etechniker, konnte aber letzte Woche wegen Programmieren nicht erscheinen.

Beziehst du dich auf beide DGL oder nur die zweite? Ich habe die erste nun mithilfe dem Eulerschen Multiplikator 1/x gelöst, da sie nicht exakt war. Und mithilfe 1/x wird sie exakt. Daraufhin habe ich sie über einen langen Integrationsterm gelöst (Ich weiss nicht ob das so optimal ist).

Zu 2.

Ich habe die gegebene DGL umgeformt zu

$\begin{eqnarray*} (ln(y^2+1)(y^2+1))dx+(2xy+2y)dy=0 \end{eqnarray*}$

(Ich weiss ebenfalls nicht ob das Optimal ist)

um die Integrabilitätsbedingung zu überprüfen und diese scheint nicht vorhanden zu sein. Demnach gäbe es doch kein Potential, da die Integrabilitätsbedingung ja notwendig ist. Deshalb habe ich gedacht hier ebenfalls einen eulerschen Multiplikator zu finden um diese DGL exakt zu machen.

Mir ist bekannt wie ich Potentiale eines Vektorfeldes bestimme. Wie ich das hier jedoch anwenden soll bleibt mir ein Rätsel. /: Ebentuell mithilfe (A)dx+(B)dy=0 irgendwie ein Vektorfeld bilden? Ich steh auf dem Schlauch..

30.06.2014, 17:11

DeltaX

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Ich kann dir gegen 18h mal zusammenfassen, was zu tun ist Augenzwinkern

Augenzwinkern

30.06.2014, 17:29

MannyC

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Hey das ist aber lieb von dir, vielen vielen dank!

Ich gehe mal davon aus das die von dir gewählte Vorgehensweise auf dasselbe mehr oder weniger hinausläuft und man aus einer nicht exakten DGL eine exakte macht, in dem man ein Potenzial dazumultipliziert?

Ich hätte da noch eine Frage: Exakt ist eine DGL ja nur wenn sie die Integrabilitätsbedingung erfüllt. Demnach würde mithilfe g(x,y)dx+h(x,y)dy=0 diese

dg/dy=dh/dx lauten. Ich habe beide DGL die gegeben waren auf die Form g(x,y)dx+h(x,y)dy=0 gebracht um somit die IB zu überprüfen, wobei beide sie nicht erfüllen, deshalb sind sie nicht exakt. Habe ich das so richtig gemacht?

In der nächsten Teilaufgabe wird daraufhin gesagt, dass wir die Lösungen der DGL bestimmen sollen, sofern auf eine exaktheit zutrifft.

Nun trifft bei mir keine auf Exaktheit hin. Trotzdem kann man sie Exakt machen um sie dann zu lösen. Und das funktioniert dann entweder mithilfe die von mir genannte Methode (Eulerscher Multiplikator) oder die von dir (wahrscheinliche bessere, da diese in der Vorlesung vorgeführt wurden ist - Potential von was auch immer verwirrt

verwirrt

).

30.06.2014, 17:33

DeltaX

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Also wie gesagt gegen 18h schreib ich mal ein Paar Zeilen.

Die DGL sieht auch dann ein wenig anders aus, ist aber dann auch leichter zu lösen.

Die zweite DGL ist exact und kann auch dementsprechend gelöst werden. Alles andere später.

30.06.2014, 18:42

DeltaX

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Also;

In der VL haben wir exakte DGL so beschrieben.

Eine DGL vom Typ

$\begin{eqnarray*} f(x,y)+g(x,y)y'=0 \end{eqnarray*}$

Ist dann eine exakte DGL, wenn gilt, dass:

$\begin{eqnarray*} f_y(x,y)= g_x(x,y) \end{eqnarray*}$ [1]

Begründung hier für ist die Annahme, dass eine Exakte DGL mit den Funktionen $\begin{eqnarray*} f,g \end{eqnarray*}$ über ein Potential $\begin{eqnarray*} \Phi \end{eqnarray*}$ beschrieben werden kann.

Da gilt:
$\begin{eqnarray*} \Phi : \mathbb R^2 \rightarrow \mathbb R \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \Phi \end{eqnarray*}$ Potential:

$\begin{eqnarray*} \nabla \Phi = (v_1(x,y),~ v_2(x,y)) = (\Phi_x,~ \Phi_y) \end{eqnarray*}$ [2]

Und für die exakte DGL gilt:

$\begin{eqnarray*} f(x,y):=v_1, \qquad g(x,y):=v_2 \end{eqnarray*}$ [3]

Laut H.A. Schwarz gilt ja:
Leitet man eine C² Funktion partiell erst nach x, dann nach y ab, so ergibt sich das gleiche Ergebnis, als wenn man zuerst partiell nach y, dann nach x ableitet.
Im konkreten Fall der exakten DGL gilt also:

$\begin{eqnarray*} \Phi_{xy}=\Phi_{yx} \end{eqnarray*}$

Und das führt zusammen mit der rechten Seite von Gleichung [2] zur Integrabilitätsbedingung in Gleichung [1].

Soviel zur Anschaulichkeit und Erklärung.

Sehen wir uns das erste Beispiel an:

$\begin{eqnarray*} 1-xy+xyy'-x^2y'=0 \end{eqnarray*}$

Das fassen wir ganz recht zusammen zu:

$\begin{eqnarray*} (1-xy)+(xy-x^2)y'=0 \end{eqnarray*}$

Demnach gilt nach obiger Erläuterung, dass

$\begin{eqnarray*} f(x,y)= 1-xy, \qquad g(x,y)=xy-x^2 \end{eqnarray*}$

Nun überprüfen wir die IB:

$\begin{eqnarray*} f_y(x,y)=-x, \qquad g_x(x,y)=y-2x \end{eqnarray*}$

Demnach ist die erste DGL nicht exakt.

Aufgabe für dich: Überprüf' das mal bei der 2. DGL.

_______________________________

Anschließendes Lösungsverfahren

Aus der Synthese der Gleichungen [2] und [3] sehen wir, dass die Partielle Ableitung von $\begin{eqnarray*} \Phi \end{eqnarray*}$ nach x unsere Funktion $\begin{eqnarray*} v_1=f(x,y) \end{eqnarray*}$ ergibt.

Also gilt ja:

$\begin{eqnarray*} \Phi_x = f(x,y) \end{eqnarray*}$

Wir wissen aber, dass unser Potential eine Stammfunktion von $\begin{eqnarray*} f(x,y) \end{eqnarray*}$ sein muss, da wir ja eben durch partielles Ableiten der Potentialfunktion unsere Funktion f erhalten haben.
Ab hier ist es relativ leicht:
Da wir wissen, dass $\begin{eqnarray*} \Phi_x = f(x,y) \end{eqnarray*}$ , so muss die Integration nach xvon f(x,y) ja eine Stammfunktion zu f ergeben und diese Stammfunktion ist ein Potential. Ich betone hier kurz den Ausdruck "ein Potential".
Klar ist, dass die Integration von f das Potential liefert, aber aus den Gleichungen [2] und [3] gilt außerdem:

$\begin{eqnarray*} \Phi_y=g(x,y) \end{eqnarray*}$ .

Wenn wir dementsprechend also $\begin{eqnarray*} g(x,y) \end{eqnarray*}$ nach y integrieren erhalten wir auch das Potential.

Zusammengefasst:

$\begin{eqnarray*} \Phi_x=v_1=f(x,y) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \Phi (x,y)= \int f(x,y) dx + {\color{red}c(y)} \end{eqnarray*}$

Und:

$\begin{eqnarray*} \Phi_y=v_2=g(x,y) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \Phi (x,y)= \int g(x,y) dy + {\color{red}c(x)} \end{eqnarray*}$

Warum das c(y) und c(x)?

Naja wenn wir eine Integration nach x durchführen (z.B.), dann ist y für uns keine Variable, sondern eine Konstante bzw. ein Skalar.
Und nach den Integralsätzen gibt es unendlich viele Stammfunktionen zu einer Funktion f(x,y), die sich alle nur in einer Konstante unterscheiden. Für die Integration nach x darf die Konstante c(y) also gerne auch Ypsilons enthalten. Und andersrum darf die Stammfunktion aus der Integration nach y auch "Ixe" enthalten.

Man Integriert f(x,y) nach x und g(x,y) nach y.
Anschließend vergleicht man die beiden Ergebnisse.
Die "gemischten" Terme, also Terme, in denen sowohl x, als auch y vorkommen, müssen übereinstimmen (also x*y, x²y usw...).
Der Rest der Potentialfunktion ergibt sich aus dem Vergleich der Konstanten, die sich durch das Integrieren ergeben.

Führe die Liste mal für das zweite Beispiel durch und schreibe beide Integrationen als Antwort hier in den Thread. Wenn du ab da weiter weißt, gut, sonst frag^^

Hoffe das hilft dir.

Wink

Wink

30.06.2014, 19:24

MannyC

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Vielen dank, man sieht wirklich das du dir dabei Mühe gegeben hast. Ich sage es nochmals sehr vielen dank! Sehr lieb von dir. Freude

Freude

Ich muss nochmal kurz vorab fragen, wozu das Potential dient & was ich mit dieser machen kann und ob ihr in der großen Übung auch gelernt habt nicht exakte DGL zu lösen, weil genau das habe ich gelernt und vielleicht ist es gar nicht gefordert.

Also ich muss noch einmal erwähnen, dass mit der Integrabilitätsbedingung hatte ich schon verstanden, denn bei der ersten hatte ich genau dasselbe herraus (Nicht exakt). Bei der zweiten ist mir wohl ein Fehler unterlaufen, d.h.

das wahrscheinlich

$\begin{eqnarray*} ln(y^2+1)+\frac{2y(x+1)}{y^2+1}y'=0 \end{eqnarray*}$

nicht äquivalent zu

$\begin{eqnarray*} (ln(y^2+1)(y^2+1))dx+(2xy+2y)dy=0 \end{eqnarray*}$ ist. Denn wenn ich den Term von dx nach y und den von dy nach x ableite, ergibt das nicht dieselbe Differentation.

Mir war nicht bewusst das man die zwei Funktionen für die IB direkt aus der Ausgangsgleichung herrauslesen konnte. Deshalb ist dein Verfahren definitiv effizienter, da man Zeit spart. smile

smile

Zur zweiten Differentialgleichung. Sie erfüllt die IB, deshalb besitzt sie auch ein Potential.

So wie du es sagst, könnte ich mir dann einfach ein Vektorfeld aus $\begin{eqnarray*} f(x,y)+g(x,y)y'=0 \end{eqnarray*}$ bilden:

$\begin{eqnarray*} \vec{F}(x,y)=\begin{pmatrix} f(x,y)\\ g(x,y) \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Und hierdraus berechne ich dann das Potential. Wenn ich es richtig verstanden habe (Wenn!), dann wird es genau so gemacht. Aber mich irritiert wie gesagt, wozu ich das Potential brauche & ob ihr gelernt habt nicht exakte DGL zu lösen.

Bin jetzt etwas durcheinander geraten^^

30.06.2014, 19:38

DeltaX

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Heyho

Wink

Klar haben wir auch nicht exakte DGL gelöst.
Mit Trennung der Veränderlichen, Variation der Konstanten und noch einige mehr.
Auch Bernoulli-DGL haben wir ja gelöst.

Perfekt erklärt ist das bei Wikipedia
.

Das Potential wird dafür genutzt:

Wenn es ein Potential zu $\begin{eqnarray*} f(x,y) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g(x,y) \end{eqnarray*}$ gibt, so erfüllt bei einer Exakten DGL die Potentialfunktion folgende Gleichung:

$\begin{eqnarray*} \Phi (x,y)=c, \qquad c \in \mathbb R \end{eqnarray*}$

Und wenn wir Wissen, wie wir $\begin{eqnarray*} \Phi \end{eqnarray*}$ bestimmen können (also über die 2 Integrationen von Oben nach x bzw. y), dann setzen wir die Stammfunktion mit c gleich.

Die Potentialfunktion wird dann nach y umgestellt und wir erhalten durch die Konstante c nun alle Lösungen $\begin{eqnarray*} y(x) \end{eqnarray*}$ der exakten DGL.

Soweit klarer?

30.06.2014, 19:49

MannyC

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Ich glaube du hast das nicht ganz verstanden was ich meinte.^^

Es gibt auch nicht exakte Differentialgleichungen, die du mithilfe eines integrierenden Faktor bzw. Eulerschen Multiplikator in eine exakte Differentialgleichung überführen kannst und sie somit auch lösen kannst. Zum Beispiel die erste DGL. Diese hatte ja die IB nicht erfüllt. Wenn du jedoch die Differentialgleichung mit (1/x) multiplizierst, wird sie exakt und somit kannst du sie lösen. Oder ich frage mal etwas anders:

Die erste DGL

$\begin{eqnarray*} 1-xy+xyy'-x^2y'=0 \end{eqnarray*}$

ist nicht exakt. Müssen wir trotzdem die Lösung von ihr bestimmen?

Zur Potentialfunktion: Ich habe es nun so verstanden, das die Potentialfunktion gleichgesetzt mit der Konstanten C, umgeformt nach y die Allgemeine Lösung der DGL ist. Das ist mir neu, weil ich das etwas anders gelöst hatte. Über die Potentialfunktion ist es aber tatsächlich besser, da es schneller ist!

Danke nochmals.

30.06.2014, 20:02

DeltaX

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Klar kann man das anders lösen, aber ist hier nicht gefordert:

Zitat:

Bestimmen Sie alle Lösungen von (A) bzw. (B), sofern (A) bzw. (B) exakt ist.

Also nur (B) lösen, da (A) nicht exakt ist.

Wink

Wink

30.06.2014, 20:14

Leopold

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RE: Exakte Differentialgleichung
Ich bezog mich auf diese Differentialgleichung:

Zitat:

Original von MannyC
2. $\begin{eqnarray*} (ln(y^2+1)(y^2+1))dx+(2xy+2y)dy=0 \end{eqnarray*}$

Sie wird durch den integrierenden Faktor $\begin{eqnarray*} \mu(y) = \frac{1}{y^2+1} \end{eqnarray*}$ exakt. Dann landen wir wieder da, wo wir anfingen:

Zitat:

Original von MannyC
2. $\begin{eqnarray*} ln(y^2+1)+\frac{2y(x+1)}{y^2+1} \color{red} \cdot y' \color{black} =0 \end{eqnarray*}$

Oder anders gesagt: Die ursprüngliche Differentialgleichung war (nach Multiplikation mit $\begin{eqnarray*} \dd x \end{eqnarray*}$ ) schon exakt.

30.06.2014, 20:28

MannyC

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Jep, das hatte ich übersehen. Da war mir wohl ein Fehler unterlaufen. Deshalb war die bestimmung des Eulerschen Multiplikator überflüssig. (War sie eigentlich die ganze Zeit, da wir die nicht exakten Differentialgleichungen gar nicht lösen sollten). smile

smile

Ich komme auf folgendes Ergebnis, stimmt das so

$\begin{eqnarray*} y=\pm \sqrt{e^{\frac{C}{x+1} } -1} \end{eqnarray*}$

verwirrt

verwirrt

Danke nochmals euch beiden!

30.06.2014, 20:59

DeltaX

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Jetzt musst Du nur noch c definieren und Bereiche für x angeben. Freude

Freude

30.06.2014, 21:11

MannyC

Auf diesen Beitrag antworten »

Kann C nicht alle Werte annehmen und x muss ungleich -1 sein? Ich erkenne ansonsten absolut keine Probleme

30.06.2014, 21:14

DeltaX

Auf diesen Beitrag antworten »

Das mit x klingt gut, aber was passiert denn z.B. wenn du für negative Werte einsetzt, also beispielsweise -20?
Lassen wir das x dann erstmal so stehen.

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