Ableitungen und Grenzwerte

30.06.2014, 05:30

u44tmp

Ableitungen und Grenzwerte

Hallo an alle!

Ich müsste zwei Aufgaben lösen und komme nicht so recht weiter

1) Ich soll eine monoton fallende differenzierbare Funktion f:[0,unendlich)->R finden, welche den Grenzwert 0 hat und bei deren Ableitung f'(x) kein Grenzwert existiert.

2) folgende Funktion ist abzuleiten, bei der f'(x)=0 für alle x gilt:
$\begin{eqnarray*} \frac{sin x}{\sqrt{1-cos^{2} x} } \end{eqnarray*}$

zu 1) Ich komme einfach nicht auf solch eine Funktion.

zu 2) Ich habe mal abgeleitet, jedoch wird die Ableitung beim Einsetzen nicht 0

Umgeformt zu $\begin{eqnarray*} sinx*(1-cos²x)^{\frac{-1}{2} } \end{eqnarray*}$

Dann die Produktregel angewandt und die Kettenregel auf den Cosinusterm und cos²:

$\begin{eqnarray*} cosx*(1-cos²x)+sinx*(-\frac{1}{2} )*\frac{1}{(1-cos²x)^\frac{3}{2} }*(2*cosx*sinx) \end{eqnarray*}$

Vereinfacht:

$\begin{eqnarray*} (cosx-cos³x)+\frac{sinx*(2*cosx*sinx)}{2*\sqrt{(1-cos²x)} ^{3} } \end{eqnarray*}$

Wo lieht der Fehler?

30.06.2014, 06:53

Dopap

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RE: Ableitungen und Grenzwerte

Zitat:

Original von u44tmp

2) folgende Funktion ist abzuleiten, bei der f'(x)=0 für alle x gilt:
$\begin{eqnarray*} \frac{sin x}{\sqrt{1-cos^{2} x} } \end{eqnarray*}$

Na ja, eine Funktion ist das nicht. ( keine Definitionsmenge )

Zitat:

zu 2) Ich habe mal abgeleitet, jedoch wird die Ableitung beim Einsetzen nicht 0

Umgeformt zu $\begin{eqnarray*} sinx*(1-cos²x)^{\frac{-1}{2} } \end{eqnarray*}$

gefällt mir nicht wirklich.

Zitat:

$\begin{eqnarray*} cosx*(1-cos²x){\color {red} ^{-\tfrac 12}}+sinx*(-\frac{1}{2} )*\frac{1}{(1-cos²x)^\frac{3}{2} }*(2*cosx*sinx) \end{eqnarray*}$

fehlt da nicht das Rote ?

wenn ich das original ableite erhalte ich:

$\begin{eqnarray*} f'(x)= \frac {-\cos(x)\sqrt{1-\cos(x)^2}\cdot {\color {blue} (\sin(x)^2+\cos(x)^2-1) } } {(\cos(x)+1)^2(\cos(x)-1)^2 } <br /> \end{eqnarray*}$

immerhin ist erkennbar, dass der Zähler eine Faktor hat, der für alle $\begin{eqnarray*} x\in \mathbb R \end{eqnarray*}$ Null ist.
Nimmt man den maximalen Definitionsbereich, dann ist der Nenner stets ungleich Null. Dann ist aber auch f(x) = 1 und die Ableitung Null. verwirrt

Meine Überlegung, aber es gibt bestimmt noch weitere Meinungen

30.06.2014, 07:14

u44tmp

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Eine Definitionsmenge war nicht angegeben, aber man sollte zusätzlich zeigen, dass f(pi/4)=1 und f(-pi/4)=-1. Das hatte ich bereits gezeigt. Wenn man nun noch zeigt, dass f'(x)=0 für alle x, dann soll man sagen, ob das ein Widerspruch zum Mittelwertsatz ist (wohl eher nicht).

Ja da hatte ich die Potenz vergessen.

Was meinst du genau mit dem Faktor?

30.06.2014, 07:29

u44tmp

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Wenn ich das ganze mit der Quotientenregel ableite, dann komme ich irgendwie auf:

$\begin{eqnarray*} \frac{cosx*\sqrt{1-cos²x}+sinx*(2cos²x*(-sinx)) }{(1-cos²x)*(2-cos²x)} \end{eqnarray*}$

Ich glaube ich scheine etwas falsch zu machen...

30.06.2014, 07:35

Dopap

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den Faktor im vorigen Beitrag hab' ich mal in Blau gesetzt.

Ich wollte mal einen Denkanstoß geben, ansonsten sind meine ANA-Kenntnisse schon etwas eingerostet. Also noch etwas Geduld!

30.06.2014, 07:50

u44tmp

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ach ok jetzt seh ich das smile

Ja das würde dann Sinn machen. Ich weiß nur nicht, warum ich nicht dadrauf komme.

30.06.2014, 10:48

HAL 9000

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Ich halte es für kontraproduktiv, sich sofort auf eine wilde Ableitungsberechnung zu stürzen. Besser erstmal etwas über die vorliegenden trigonometríschen Terme nachdenken, insbesondere im Nenner:

Es gilt $\begin{eqnarray*} 1-\cos^2(x)=\sin^2(x) \end{eqnarray*}$ und folglich nach Wurzelziehen $\begin{eqnarray*} \sqrt{1-\cos^2(x)}=|\sin(x)| \end{eqnarray*}$ , d.h. es geht um

$\begin{eqnarray*} f(x) = \frac{\sin(x)}{|\sin(x)|} = \operatorname{sgn}(\sin(x)) \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} x\neq k\pi \end{eqnarray*}$

(mit Vorzeichenfunktion $\begin{eqnarray*} \operatorname{sgn} \end{eqnarray*}$ ). Dann ist eigentlich schon fast alles geklärt.

EDIT: Ich nehme an, bei 1) redest du von den Grenzwerten für $\begin{eqnarray*} x\to\infty \end{eqnarray*}$ ? Ja, ist nicht einfach, was geeignetes zu finden.

$\begin{eqnarray*} f(x) = \begin{cases} 1 & \displaystyle \;\mbox{für}\; 0\leq x<\frac{1}{2} \\[2ex] \displaystyle\frac{3}{2^{n+1}} - (x-n)*\left( 1-2^{n-1}|x-n|\right) & \;\mbox{für}\; n-\frac{1}{2^n} \leq x \leq n+\frac{1}{2^n} \\[2ex] \displaystyle \frac{1}{2^n} & \;\mbox{für}\; n+\frac{1}{2^n} < x < n+1-\frac{1}{2^{n+1}} \end{cases}, \quad n\in\mathbb{N} \end{eqnarray*}$ .

30.06.2014, 20:52

u44tmp

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Ich glaube so kompliziert muss das garnicht sein. Ich denke da reicht eine einfache Umformung bzw. ein "Trick" was Umformungen angeht. Die Ableitung von Dopap ist genau das, was ich meinte. Jedoch: Wie komme ich dadrauf?

zu 1)

Ist das wirklich so kompliziert? Gibt es da nicht etwas einfacheres? :/

01.07.2014, 11:18

HAL 9000

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Zitat:

Original von u44tmp
Ich glaube so kompliziert muss das garnicht sein.

Genau das habe ich gedacht, als ich die Monsterterme von dir und Dopap gesehen habe, und eben deshalb was ganz einfaches und übersichtliches hingeschrieben. Augenzwinkern

Zitat:

Original von u44tmp
Zu 1)
Ist das wirklich so kompliziert? Gibt es da nicht etwas einfacheres?

Es ist ein mögliches Beispiel. Wenn du was einfacheres findest - bitte gern. Ich hab auch gedacht, ich kriege (auf der Basis von Winkelfunktionen) einen "geschlossenen" Term hin, hab das aber dann aufgegeben. Die von mir angegebene Funktion basiert auf deren Ableitung, die im Grunde genommen für $\begin{eqnarray*} x\to\infty \end{eqnarray*}$ fast nur noch Null ist, aber an den ganzzahligen Stellen x=n jeweils eine (immer "schmaler" werdende) Dreieckspitze nach unten mit Tiefpunktwert -1 ausbildet:

$\begin{eqnarray*} f'(x) = \begin{cases} -1 +2^{n} |x-n| & \;\mbox{für}\; \displaystyle n-\frac{1}{2^n} \leq x \leq n+\frac{1}{2^n} \\[2ex] 0 & \;\mbox{sonst} \end{cases}, \quad n\in\mathbb{N} \end{eqnarray*}$ .

Hier der Graph dieser Ableitung:

[attach]34736[/attach]

Man erkennt unmittelbar

$\begin{eqnarray*} \lim_{x\to\infty} f(x) - f(0) = \int\limits_0^{\infty} f'(t) ~ \dd t = \sum_{n=1}^{\infty} \left( - \frac{1}{2^n} \right) = -1 \end{eqnarray*}$ ,

mit Forderung $\begin{eqnarray*} \lim_{x\to\infty} f(x) = 0 \end{eqnarray*}$ gemäß Aufgabenstellung ergibt dies $\begin{eqnarray*} f(0)=1 \end{eqnarray*}$ sowie dann

$\begin{eqnarray*} f(x) = 1 + \int\limits_0^x f'(t) ~ \dd t \end{eqnarray*}$ ,

was zu obiger Formel führt. Die (übrigens stetige) Differenzierbarkeit ist klar durch die stetig konstruierte Ableitung, außerdem impliziert $\begin{eqnarray*} f'(x)\leq 0 \end{eqnarray*}$ die Antitonie von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ .

01.07.2014, 19:56

u44tmp

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Das ist wahnsinnig kompliziert...
Was meinst du mit "auf der Basis von Winkelfunktionen" ?
Hoffe nicht, dass du denkst es muss auf dieser Basis sein. Gefordert wurde irgendeine Funktion, die nichts mit der anderen Aufgabe zu tun hat (denke ich, falls das geht).

02.07.2014, 07:35

HAL 9000

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Zitat:

Original von u44tmp
Das ist wahnsinnig kompliziert...

Nicht, wenn du dich mal etwas anstrengen würdest, es zu verstehen. Ich hab schließlich auch noch viel Mühe reingelegt, es haarklein zu erklären. Aber du motzt und mäkelst nur rum und schreist nach "was einfacherem".

Zitat:

Original von u44tmp
Was meinst du mit "auf der Basis von Winkelfunktionen" ?
Hoffe nicht, dass du denkst es muss auf dieser Basis sein.

"Muss" ist natürlich Blödsinn: Mein Beispiel oben basiert ja auch nicht auf Winkelfunktionen.
Es geht hier nie um ein "muss", sondern immer nur um ein "kann". Ich hatte es versucht mit einem Konstrukt mit Winkelfunktionen, aber das war noch viel komplizierter als die obige stückweise lineare Ableitung - die ist doch wirklich vergleichsweise einfach, wenn du nicht so denkverweigernd abblocken würdest. unglücklich

Zitat:

Original von u44tmp
Gefordert wurde irgendeine Funktion, die nichts mit der anderen Aufgabe zu tun hat (denke ich, falls das geht).

Ein sehr weiser Ratschlag - was hätte ich nur ohne den getan. Teufel

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