nicht vollständiger Körper

30.06.2014, 11:06	Benni91	Auf diesen Beitrag antworten »
nicht vollständiger Körper Meine Frage: Hallöchen, ich stehe derzeit vor einer mich etwas überfordernden Aufgabe. Ich studiere Mathematik derzeit im 2. Semester und stelle mir oftmals selbst einige Aufgaben, die mich interessieren. Und zwar habe ich mich folgendes gefragt: Die reellen Zahlen bilden einen Körper. Dieser ist vollständig aber nicht algebraisch abgeschlossen. Nun frage ich mich, ob es auch einen Körper gibt, der algebraisch abgeschlossen ist, aber nicht vollständig. Meine Ideen: Als konkrete Idee dachte ich, ich nehme mir die komplexen Zahlen und werfe alle transzendenten Zahlen raus. Damit ist das Ding doch immernoch algebraisch abgeschlossen, nun aber nicht mehr vollständig. Die Frage ist eben, ob das Teil jetzt noch ein Körper ist. Um neutrale bzw inverse Elemente mach ich mir keine Sorgen... aber was ist mit der Abgeschlossenheit bzgl. Addition und Multiplikation? Kann bei Addition oder Multiplikation zweier nicht-transzendenter zahlen eine transzendente Zahl herauskommen?
30.06.2014, 11:17	bijektion	Auf diesen Beitrag antworten »
Was meinst du denn hier mit vollständig? Das jede Cauchyfolge konvergiert? EDIT: Ach das willst du ja hier auch gar nicht haben Wenn $\begin{eqnarray} p,q\in\mathbb{A} \end{eqnarray}$ sind (sei $\begin{eqnarray} \mathbb{A} \end{eqnarray}$ die Menge der algebraischen Zahlen), dann gibt es Polynome $\begin{eqnarray} P,Q \end{eqnarray}$ , sodass $\begin{eqnarray} P(p)=Q(q)=0 \end{eqnarray}$ . Jetzt müssen wir uns die Frage stellen, ob es Polynome $\begin{eqnarray} \rho^+,\rho^{} \end{eqnarray}$ gibt, sodass $\begin{eqnarray} \rho^+(p+q)=0 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \rho^(p\cdot q)=0 \end{eqnarray}$ . Hilft dir das?
30.06.2014, 15:59	Ralis91	Auf diesen Beitrag antworten »
Also Vollständigkeit haben wie so eingeführt, dass jede endliche Menge reeller (bzw. komplexer) Zahlen ein reelles bzw. komplexes Supremum besitzt. Das ist ja äquivalent dazu, dass jede Cauchy-Folge konvergiert. Aber darum geht es hier ja nicht Also ich nehme mir mal zwei beliebige algebraische Zahlen p bzw. q. Nach Definition sind diese Nullstelle bestimmter Polynome P bzw. Q, also P(p) = 0 und Q(q) = 0. Soweit klar. Nun die Frage, ob p+q und pq ebenfalls algebraisch sind, also ebenfalls Nullstelle bestimmter Polynome sind. Soweit ebenfalls klar. Es ist nun eher unwahrscheinlich, dass sowohl p+q als auch pq Nullstelle desselben Polynoms sind. Ich muss also zwei neue Polynopme finden. Aber wie finde ich die? Ich habe ja nur P und Q als voraussetzung. Muss ich die beiden irgendwie zu neuen Polynomen mit den gewünschten Eigenschaften zusammenfrimeln? Ich wüsste nicht, wie ich das machen sollte.
30.06.2014, 16:31	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Tatsächlich kann man sich diese Polynome basteln. Sind $\begin{eqnarray} p=p_1, \dotsc p_n \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} q=q_1, \dotsc, q_m \end{eqnarray}$ die Nullstellen von $\begin{eqnarray} P \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} Q \end{eqnarray}$ , so ist $\begin{eqnarray} H := \prod_{i,j}(X-p_i+q_j) \end{eqnarray}$ offenbar ein Polynom mit $\begin{eqnarray} H(p+q)=0 \end{eqnarray}$ . Für $\begin{eqnarray} H \in \mathbb Q[X] \end{eqnarray}$ braucht man jedoch entweder Galoistheorie oder den Hauptsatz über elementarsymmetrische Funktionen. Normalerweise zeigt man die Tatsache, dass Summe und Produkt algebraischer Zahlen wieder algebraisch sind, aber eher etwas abstrakter im Rahmen der Theorie ganzer Ringerweiterungen, worüber du in jedem Buch über (kommutative) Algebra lesen kannst.
01.07.2014, 22:36	Ralis91	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich denke mal, ich lasse bis dahin noch ein paar Semester ins Land ziehen. Wenigstens weiß ich, dass meine Idee funktioniert Danke dir.

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